Кривые Безье

В настоящее время для задач аппроксимации наиболее широко применяются кривые Безье. Это связано с их удобством как для аналитического описания, так и для наглядного геометрического построения (применительно к компьютерной графике это означает, что пользователь может задавать форму кривой интерактивно, т.е. двигая опорные точки курсором на экране).

Наглядный метод построения этих кривых был предложен de Casteljau в 1959 году. Построим кривую по 3 опорным точкам (Рис. 5). Метод de Casteljau основан на разбиении отрезков, соединяющих исходные точки в отношении t (значение параметра), а затем в рекурсивном повторении этого процесса для полученных отрезков.

Рис. 5. Кривая Безье с 3 опорными точками.

Обозначим опорные точки как , , начало кривой положим в точке (t=0), а конец в точке (t=1), для каждого найдем точку , таким образом, получим кривую второго порядка.

Теперь постоим аналогичным методом кривую Безье с 4 опорными точками.

Рис. 6. Кривая Безье с 4 опорными точками.

Можно продолжать подобные построения и для большего числа узлов, получая аналогичные выкладки. Запишем общее аналитическое представление для кривой Безье с N+1 опорной точкой:

, где , где - биномиальные коэффициенты,

называются базисными многочленами Бернштейна n степени (а также весовыми функциями Безье/Бернштейна). На рисунках ниже изображены многочлены Бернштейна 3 и 4 степеней

Рис. 7. Базисные функции Бернштейна для кривой Безье с 3 опорными точками.

Рис. 8.. Базисные функции Бернштейна для кривой Безье с 4 опорными точками.