Когерентные состояния

Вектор основного состояния |0ñ - собственный вектор оператора с собственным значением 0:

|0ñ = 0 º 0|0ñ.

Поставим задачу на отыскание всех собственных векторов оператора :

|añ = a|añ.

Найдем векторы |añ в n - представлении, для чего разложим их по базису {| n ñ}:

|añ = á n |añ| n ñ,

и определим коэффициенты разложения á n |añ. Для этого умножим уравнение на собственные значения оператора слева на á n:

á n | _-|añ = aá n |añ.

Расписываем левую часть:

á n | _-|añ = ,

и приходим к рекуррентному соотношению

á n + 1||añ á n |añ,

решение которого очевидно:

á n + 1|añ= á0|| n ñ

В результате искомое разложение принимает вид:

.

Величину á0|añ находим из условия нормировки:

1 = áa|añ = á0|añ^*á0|añ ,

(á m | n ñ = d _mn).

Откуда, с точностью до произвольного фазового множителя,

á0|añ = .

Таким образом, для собственных векторов |añ оператора окончательно получаем

|añ = | n ñ,

где | n ñ - векторы стационарных состояний осциллятора. Нетрудно доказать, что этот ряд сходится при любом aÎС, т.е. спектр оператора заполняет всю комплексную плоскость, и у него имеется континуум собственных векторов. Удивляться не надо, ибо - неэрмитов оператор, а спектральные свойства таких операторов могут быть весьма непривычными. Например, у оператора , наоборот, нет ни одного собственного значения и ни одного собственного вектора.