Другое решение задачи о квантовом осцилляторе

Вернемся к квантовому осциллятору с гамильтонианом

+1/2mw^{2 2}.

Перепишем его, вводя вместо и новые операторы

, ,

связанные друг с другом операцией сопряжения:

, .

Из коммутационного соотношения

[ , ] =

сразу следует, что

[ ] = ,

(это проверяется прямой подстановкой). Кроме того, выражая и через и

и подставляя результаты в , получим

= ).

Отсюда элементарно проверяются коммутационные соотношения

[ , ] = ; [ , ] = - .

Пусть y _n - собственная функция с собственным значением :

y _n = E_n y _n.

Тогда

y _n

или 0, или собственная функция с собственным значением - . Действительно, используя коммутатор с , имеем:

( y _n) = ( )y _n = ( - )y _n =

= ( E_n - )y _n = (E_n - )( y _n).

Аналогично устанавливается второе утверждение. По этой причине называется понижающим оператором, а - повышающим оператором.

Но энергетический спектр осциллятора ограничен снизу - есть минимальная энергия E ₀, которой отвечает собственная функция y₀ гамильтониана. Дальше понижать некуда, и должно быть

y₀ = 0.

Действуем на эту функцию гамильтонианом:

y₀ = ( + )y₀ = 0 + y₀ = y₀.

Таким образом,

E ₀ = .

Функция y₀ есть волновая функция основного состояния (его называют также вакуумным состоянием). Она должна быть нормирована:

(y₀, y₀) = 1.

Действуя на нее последовательно оператором , будем получать волновые функции новых стационарных состояний, повышая энергию каждый раз на . Придем к последовательности энергий

, + , + 2 ,...

т.е.

E ₀ = (n +1/2).

Волновая функция стационарного состояния с E_n есть

y _n = c_n ( ₊) ⁿ y₀,

где c_n - нормировочные постоянные. Для таких функций

y _n = E_n y _n, E_n = (n+1/2).

Записывая

y _n = ( +1/2 )y _n = E_n y _n = (n+1/2) y _n,

Получим

y _n = n y _n, º ,

т.е. спектр оператора состоит из неотрицательных целых чисел 0,1,...

Терминология и физическая интерпретация таковы. Состояние с функцией y _n «состоит» из остова (основного состояния) с энергией E ₀ = 1/2 и из n «квазичастиц» - квантов возбуждения с энергиями = у каждого. Оператор (часто обозначается просто ) есть оператор уничтожения, а оператор (обозначение ) - оператор рождения квантов возбуждения (квазичастиц). Оператор есть оператор числа квазичастиц (числа квантов возбуждения).

Естественные и довольно очевидные обобщения построенной схемы играют фундаментальную роль в статистической физике, физике твердого тела, квантовой теории поля и т.д., так как составляют основу метода вторичного квантования. Поэтому хорошо сформулировать данную схему на более абстрактном языке.

Представление чисел заполнения ( - представление, базис Фока)

Отказываемся полностью от координатного представления, вводим через и операторы и с коммутационным соотношением

[ , ] = ,

записываем через них гамильтониан осциллятора

= ( +1/2 ) º ( +1/2 )

и выбираем в качестве базисных векторы

,

где

|0ñ = 0,

а каждый | n ñ - собственный вектор гамильтониана:

| n ñ = E_n | n ñ, E_n = (n +1/2).

Произвольный вектор состояния представляется разложением

|yñ = y _n | n ñ

и описывается волновой функцией (последовательностью) {y _n} в n - представлении:

y _n = á n |yñ.

Смысл ее в том, что |y _n |²есть вероятность того, что в состоянии y мы получим при измерении энергии значение E_n, т.е. обнаружим в этом состоянии n квантов возбуждения.

Имеют место следующие очень важные соотношения:

| n ñ = | n +1ñ

и

| n ñ = .

Первое проверяется непосредственно:

| n ñ = º | n +1ñ.

Второе доказываем по индукции. При n =0 оно выполняется в силу определения |0ñ. Допустим, что

| n -1ñ = | n -2ñ.

Тогда, используя только что доказанное и коммутатор [ , ] = , имеем:

| n ñ = | n -1ñ = ( )| n -1ñ = ( + )| n -1ñ =

= {| n -1ñ + | n -1ñ} = {| n -1ñ + | n -1ñ} = | n -1ñ,

что и требовалось доказать. Теперь легко установить, что {| n ñ} - базис ортонормированный:

á m | n ñ = d _mn.

Действительно, (m ³ n):

á m | n ñ = á0| | n -1ñ =

= = d _mn.

Как и всегда, в заданном представлении операторы представляются некоторыми матрицами - в данном случае

® F_mn = á m | | n ñ.

Зная действие операторов _- и ₊ на | n ñ, сразу находим их матрицы:

á m | _-| n ñ = á m | n -1ñ = d _{m , n -1}

и

á m | ₊| n ñ = á m | n +1ñ = d _{m , n +1},

т.е.

( _m) _mn = d _{m , n -1}, ( ₊) _mn = d _{m , n +1}

Еще проще матрица оператора числа квантов возбуждения:

á m | | n ñ = n á m | n ñ = n d _{m , n}.

Как и положено быть матрице оператора в собственном представлении, она диагональна:

() _mn = n d _{m , n} .

В явном виде

, , .

Напомним, что векторы состояний представляются матрицами-столбцами:

...

От n - представления легко перейти в - представление и найти волновые функции в явном виде. Основное условие

_-|0ñ = 0

в координатном представлении записывается как

)y₀(x) = 0; = x, = ,

или, переходя к безразмерной координате y = x / x ₀,

(y + )y₀(y) = 0.

Общее решение этого уравнения очевидно:

y₀(y) = C ₀ .

Константу C ₀ находим из условия нормировки:

1 = (y₀, y₀) = =

= C ² x ₀ ,

так что

y₀(y) = .

Для волновой функции n -го стационарного состояния имеем:

Но это и есть функция Эрмита. Действительно, учитывая, что

,

и полагая

f (y) = ,

придем к функциям Эрмита в форме Родрига

,

которые уже были выписаны (но не получены!) в начале лекции.