Гармонический осциллятор

Классический осциллятор.

Пусть частица совершает одномерное движение. Разложим ее потенциальную энергию в ряд Тейлора в окрестности x = 0 до второго порядка:

V (x) = V (0) + |_x=0× x + 1/2 |× x ².

Пусть x =0 - положение устойчивого равновесия. Тогда в этой точке V (x) - минимум, а потому

(0) = 0, (0) º k >0.

Гамильтониан записывается как

H = p ²/2m + kx ²/2.

Он приводит к уравнению движения

,

с решением

x = A cos(w t + j).

Для энергии имеем

E = + kx ²/2 =

= mw² A ²/2×sin²w t + kA ²/2×cos² w t = mw² A ²/2.

Так как

,

то можно также записать

E = mw²á x² ñ_кл.

Квантовый осциллятор в координатном представлении

Гамильтониан имеет вид

²/2m + mw² x ²/2),

и стационарное уравнение Шредингера записывается как

-i²/2m×y¢¢(x) + mw² x ²/2×y (x) = Е ×y (x).

К нему нужно добавить единственное граничное условие:

| y (x)| < +¥, (x ® ± ¥).

Вводя безразмерные координату y и энергию e:

y = x , e = 2 E /iw,

переписываем уравнение (это тривиально):

(d²/d y ² - y ²+e) ×y(y) = 0.

Легко показать (отбрасывая член с ey(y)), что асимптотика решения такова:

y(x) + B ,

причем из граничного условия B =0. Поэтому, чтобы привести уравнение к стандартному виду, делаем замену неизвестной функции:

y(y) = U (y).

Для функции U (y) получается уравнение

U^RR- 2 yU ^R + (e-1) U = 0

с граничным условием

U (y) Þ 0 (быстрее, чем возрастает ),.

Выписанное уравнение называется уравнением Эрмита. Так как y =0 - регулярная точка, решение можно искать в виде степенного ряда:

U (y) = .

Дифференцируем его и подставляем в уравнение:

{ a_k (k -1) ky^{k -2}- a_k (2 k +1-e) y^k} = 0,

или

{ a_{k +2}(k +1)(k +2)- a_k (2 k +1-e)} y^k = 0,

откуда

a_{k +2}(k +1)(k +2)- a_k (2 k +1-e) = 0,

и получаем рекуррентное соотношение для коэффициентов:

a_{k +2} = {(2 k +1-e)/(k +1)(k +2)} a^k.

Если ряд бесконечный, то при больших

,

т.е. отношение соседних коэффициентов такое же, как в разложении

.

Это решение не удовлетворяет граничному условию. Поэтому ряд должен где-то оборваться. Тогда он будет конечным полиномом, из-за множителя функция Y(y) будет быстро убывать при y ® ±µ, и она будет квадратично интегрируемой.

Как же добиться того, чтобы U (y) было конечным полиномом?

Пусть

n = max{ k } Û a_n ¹0, a_{n +2} = 0.

Тогда из рекуррентного соотношения

2 n +1-e = 0.

Но этого еще не достаточно. Нужно еще потребовать, чтобы a_{n +1}=0.

Этот коэффициент выражается через a_{n -1}:

a_{n +1} = {2(n- 1)+1-e/ n (n +1)} × a_{n -1}.

Если бы числитель дроби равнялся нулю, то все было бы хорошо. Но в силу предыдущего

2(n -1)+1-e = [2 n +1-e]-2 = -2 ¹ 0.

Поэтому нужно потребовать a_{n -1}=0, а также a_{n -3}=0, и так далее, пока не дойдем до a ₀=0 или a ₁=0. Ясно, что при n четном должно быть a ₁=0, а при n нечетном - a ₀=0, В любом случае условие обрыва ряда, т.е. превращения его в полином, имеет вид

2 n +1-e = 0 Þ e = 2 n +1,

откуда, вспоминая, что

,

получаем энергетический спектр гармонического осциллятора:

E_n = iw×(n+1/2), n = 0,1,2,...

Из предыдущего явствует, что если n четно, то a ₁=0, и все =0, а потому волновая функция - четная:

Y _2k (- x) = +Y_{2 k} (x).

Если же n-нечетно, то a ₀=0, все a _{2 k} =0, и волновая функция нечетна:

Y _2k+1 (- x) = -Y_{2 k+ 1}(x).

Если положить a ₀=1, a ₁=0 для одного набора решений и a ₀=0, =1 для другого набора, то получим полиномы Эрмита:

.

Тогда волновые функции стационарных состояний будут функциями Эрмита:

,

где константы A_n следует определить из условия нормировки

Y|(y)|²d y = 1 или Y|(x)|²d x = 1.

Второе условие более физично, и оно окончательно дает

.