![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение 3.7. Квадратная матрица А называется вырожденной, если , и невырожденной, если
.
Определение 3.8. Квадратная матрица В называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если АВ = ВА = Е. При этом В обозначается .
Рассмотрим условие существования матрицы, обратной к данной, и способ ее вычисления.
Теорема 3.2. Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица была невырожденной.
Доказательство.
1) Необходимость: так как то
(теорема 3.1), поэтому
2) Достаточность: зададим матрицу в следующем виде:
.
Тогда любой элемент произведения (или
), не лежащий на главной диагонали, равен сумме произведений элементов одной строки (или столбца) матрицы А на алгебраические дополнения к элементам друго столбца и, следовательно, равен 0 (как определитель с двумя равными столбцами). Элементы, стоящие на главной диагонали, равны
Таким образом,
=
. Теорема доказана.
Замечание. Сформулируем еще раз способ вычисления обратной матрицы: ее элементами являются алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы А, деленные на ее определитель.
Пример.
Найдем матрицу, обратную к
следовательно, матрица А невырожденная. Найдем алгебраические дополнения к ее элементам:
Не забудем, что алгебраические дополнения к элементам строки матрицы А образуют в обратной матрице столбец с тем же номером. Итак,
Можно убедиться, что найденная матрица действительно удовлетворяет определению
Найдем
Тот же результат получим и при перемножении в обратном порядке.
Дата публикования: 2014-11-28; Прочитано: 306 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!