Неявная разностная схема для волнового уравнения

5.1. Аппроксимация дифференциального уравнения.

Для аппроксимации уравнения используем Т-образный пятиточечный шаблон:

Уравнение аппроксимируется следующей системой разностных уравнений:

, , (8)

с погрешностью аппроксимации .

5.2. Аппроксимация начальных условий.

Начальные условия аппроксимируем с порядком аналогично тому, как это делалось для явной схемы:

,

. (9)

Здесь отличие заключается в том, что аппроксимируется разностной производной второго порядка на первом слое, а не на нулевом, как в случае явной схемы.

Запишем (8) следующим образом:

, , (10)

Равенство (9) запишем в такой же форме:

, (11)

5.3. Аппроксимация второго граничного условия: , .

5.4. Аппроксимация первого граничного условия.

Для получения погрешности аппроксимации порядка запишем выражение для центральной разности в узле (метод фиктивного узла):

Разложим в окрестности точки по формуле Тейлора:

.

Используя начальные условия:

.

Перейдем к конечным разностям, записываемым в узле (т.е. на первом слое):

.

При

.

С учетом :

.

Полученное уравнение для слоя рассматривается как первая строка трехдиагональной системы уравнений, которая решается методом прогонки.

Для : . Предполагая достаточную гладкость искомого решения, аппроксимируем волновое уравнение в узле :

. (12)

С учетом :

. (13)

А данное уравнение рассматривается как первая строка трехдиагональной системы уравнений, решаемой прогонкой по слоям, начиная с .

Таким образом, построена неявная разностная схема аппроксимирующая краевую задачу с погрешностью аппроксимации порядка . В левую часть уравнений (10) - (13) входят в качестве неизвестных три значения сеточной функции в трех соседних узлах j +1-ого слоя, поэтому такая разностная схема называется неявной. Полученная система линейных алгебраических уравнений описывается трехдиагональной матрицей. Для решения таких систем применяется метод прогонки.

5.5. Определение прогоночных коэффициентов.

Найдем при . Пусть . Тогда трехдиагональная система имеет вид:

Граничные прогоночные коэффициенты:

; ;

; ;

Теперь, зная значения при находим , где . Трехдиагональная матрица имеет вид:

Граничные прогоночные коэффициенты:

; ;

; ;

Проверка корректности и устойчивости метода прогонки. Для и выполнены следующие условия: , , . Тогда для алгоритма имеют место равенства , , гарантирующие корректность и устойчивость метода прогонки.

5.6. Исследование схемы. Устойчивость.

Значения решения на нулевом и первом слоях вычисляют, как при использовании явной схемы. На остальных слоях схема с краевыми условиями образует относительно линейную систему уравнений с трехдиагональной матрицей, в которой диагональные элементы преобладают. Решение этой системы существует, единственно и вычисляется методом прогонки.

Разложение решения по формуле Тейлора нетрудно установить, что на решениях с непрерывными четвертыми производными схема аппроксимирует уравнение с погрешностью .

Устойчивость проверяется методом разделения переменных. Данный пятиточечный шаблон является частным случаем неявной разностной схемы с весами при пространственных производных на разных слоях:

,

,

чтобы все веса были неотрицательны, следует брать . Делая аналогичную подстановку, получим для множителя роста квадратное уравнение

.

На основании тех же рассуждений можно сделать следующий вывод: устойчивость будет только при комплексно сопряженных корнях, т.е. при . Отсюда вытекает условие устойчивости схемы:

.

Из данного неравенства видно, что при схема безусловно устойчива. Если , то схема условно устойчива при , т.е. неявная схема сходится с точностью при условии .