Явная разностная схема для волнового уравнения

4.1. Аппроксимация дифференциального уравнения.

Для сведения задачи к явной разностной схеме используем шаблон «крест»:

Получаем конечно-разностную схему:

. (1)

Обозначим и выразим через остальные значения сеточной функции, входящие в уравнение:

. (2)

Это уравнение должно выполняться для всех внутренних узлов сетки. Для того чтобы система стала полностью определенной, необходимо дополнить ее уравнениями, получаемыми из аппроксимации краевых и начальных условий.

4.2. Аппроксимация первого начального условия: , .

4.3. Аппроксимация второго граничного условия: , .

4.4. Аппроксимация второго начального условия.

Для этого разложим в окрестности точки по формуле Тейлора:

.

Используя начальные условия:

. (*)

Перейдем к конечным разностям, записываемым в узле (т.е. на первом слое):

. (3)

Данная формула используется на начальном этапе для вычисления функции на первом слое по известным значениям функции на нулевом слое и на границе. После того как значения для и определены, включается рекуррентная процедура (2) и вычисляется .

4.5. Аппроксимация первого граничного условия.

Запишем формулу (3) при :

.

Выразим :

. (4)

Запишем формулу (1) при и :

.

Выразим :

. (5)

Теперь подставим выражение (4) для в (5):

Разложим в окрестности точки по формуле Тейлора:

.

Используя начальные условия:

. (**)

Перейдем к конечным разностям, записываемым в узле :

. (6)

При (6) имеет вид:

. (7)

Подставляем выражение в (7):

Теперь получим выражение для :

.

Выразим из (6):

.

Получим значения для .

После того, как выбраны формулы (*) и (**), разностное решение существует и единственно.

4.6. Аппроксимация решения.

Разложим точное решение по формуле Тейлора с центром в узле , предполагая наличие непрерывных четвертых производных:

Используя эти разложения, находим невязку схемы:

И невязку начального и граничного условий

,

.

Начальное и краевое условия аппроксимируются точно. Таким образом, схема имеет аппроксимацию .

4.7. Устойчивость решения.

Исследуем устойчивость схемы, полагая , .

Для множителя роста гармоники получим квадратное уравнение:

.

По теореме Виета произведение его корней . Значит, условие устойчивости может быть выполнено, если . Для уравнения с действительными коэффициентами это означает, что корни образуют комплексно сопряженную пару. Для этого дискриминант уравнения не должен быть положительным:

.

Чтобы неравенство выполнялось для любых гармоник, необходимо и достаточно соблюдение условия Куранта: . Таким образом, схема «крест» условно устойчива.

Несмотря на очевидную простоту вычислительной процедуры, характерной для явной схемы, ее практическая реализация возможна при таких соотношениях между шагами сетки и , при которых выполняется условие устойчивости решения к ошибкам округления и неточностям в начальных данных. Для уравнения гиперболического типа это условие имеет вид: (условие Куранта - Леви). Если условие устойчивости разностной схемы не будет выполнено, то в процессе рекуррентного решения возможно накапливание ошибок от слоя к слою, что приведет к неудовлетворительному результату, несмотря на высокую точность аппроксимации дифференциальной краевой задачи разностной схемой. На практике стараются использовать неявные схемы, то есть такие, которые не могут быть сведены к рекуррентным формулам. Значения сеточной функции на каждом данном слое в таких схемах получают путем решения системы линейных алгебраических уравнений специального вида.

4.8. Сходимость решения.

Схема с данными начальными условиями при выполнении условия Куранта – Леви сходится со скоростью .