![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Нахождение обратной матрицы через алгебраические дополнения - трудоемкий вычислительный процесс, поэтому при решении системы линейных уравнений воспользуемся численным методом, который позволяет с помощью элементарных преобразований за конечное число шагов найти решение (если оно существует) и при необходимости получить обратную матрицу. Этот метод называется методом полного исключения неизвестных или методом Гаусса.
Пусть дана система уравнений, запишем ее расширенной матрицей
Идея метода состоит в том, чтобы с помощью элементарных преобразований свести расширенную матрицу системы к виду
.
Преобразование системы состоит из ряда последовательных шагов. Условимся, что перед выполнением очередного шага в таблице вычеркиваются все строки, состоящие из одних нулей, т.е. вычеркиваются все тривиальные уравнения.
Пример. Решим систему методом Гаусса.
Начальная расширенная матрица имеет вид .
Приведем ее к диагональному виду.
1-й шаг. Получим в первой строке единицу, для этого разделим первую строку матрицы на 2.
.
2-й шаг. «Обнулим» первый столбец, т.е. получим нули на месте элементов . Для этого 1-ю строку оставляем без изменения. Вместо 2-й строки записываем следующую ее комбинацию с 1-й: 1-ю строку умножаем на (-5), складываем ее со 2-й строкой, тогда новые числа, стоящие во 2-й строке расширенной матрицы, будут следующие:
Вместо 3-й строки записываем следующую ее комбинацию с 1-й: 1-ю строку умножаем на (-3) и складываем ее с 3-й строкой, тогда
Расширенная матрица примет вид .
В результате 1-й столбец преобразовался в
.
3-й шаг. Получим 1 во второй строке, для этого делим вторую строку на 11.
.
4-й шаг. «Обнулим» второй столбец: (получим нули на месте элементов . Для этого 2-ю строку оставляем без изменения. Вместо 1-й строки записываем следующую ее комбинацию со 2-й: 2-ю строку умножаем на 2 и складываем ее с 1-й строкой, тогда
Вместо 3-й строки записываем ее комбинацию со 2-й: 2-ю строку умножаем на
(-14) и складываем ее с 3-й строкой, тогда
.
В результате 1-й столбец матрицы не изменился, а 2-й превратился в .
5-й шаг. Получим 1 в третьей строке. Делим 3-ю строку на :
.
6-й шаг. «Обнулим» третий столбец, для чего 3-ю строку оставляем без изменения. Вместо 1-й строки записываем ее комбинацию с 3-й: 3-ю строку умножаем на и складываем ее с 1-й строкой, тогда
Вместо 2-й строки записываем ее комбинацию с 3-й: 3-ю строку умножаем на и складываем ее с 2-й строкой, тогда
.
В результате 5-го и 6-го шагов 3-й столбец принял вид .
Таким образом, решение системы следующее:
Проверка:
Дата публикования: 2014-11-28; Прочитано: 238 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!