Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера

Теорема Крамера. Пусть - определитель матрицы системы А, а - определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой -го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам: .

Эти формулы получили название формул Крамера.

Из рассмотрения формул ясно, что при =0 система или не имеет решения (если один из определителей ), или имеет бесчисленное множество решений при всех =0.

Заметим: 1. Если система однородна, т.е. все свободные члены равны нулю, то она всегда имеет нулевое (тривиальное) решение при ;

2. Если =0, то однородная система имеет ненулевые решения.

Существенным недостатком решения систем методом Крамера и методом обратной матрицы является их большая трудоемкость, связанная с вычислением определителей и нахождением обратной матрицы. Поэтому эти методы представляют скорее теоретический интерес и на практике не применяются для решения экономических задач, сводящихся часто к системам с большим числом неизвестных.

Элементарные преобразования системы линейных уравнений, не нарушающие равносильность системы:

1) Вычеркивание уравнения системы, у которой все коэффициенты при неизвестных и свободный член равны нулю. Такое уравнение называется тривиальным.

2) Умножение обеих частей какого-либо уравнения системы на отличное от нуля число.

3) Замена -го уравнения системы уравнением, которое получается путем почленного сложения -го и -го уравнений системы.

Пример. Решим систему

методом Крамера.

Определитель данной системы

Вычислим определители , и :

.

.

.

Решение системы:

Для того чтобы убедиться в правильности решения, сделаем проверку, то есть подставим найденные значения в исходную систему

.