Решение задачи с помощью явной разностной схемы

В явной разностной схеме значение сеточной функции на последующем слое полностью определяется значением её на предыдущем слое по рекуррентным формулам.

Аппроксимация дифференциального уравнения

Для сведения задачи к явной разностной схеме используем следующий шаблон:

Получаем конечно-разностную систему:

(3)

Выразим через остальные значения сеточной функции, входящие в уравнение:

(3*)

Уравнение (3*) должно выполняться для всех внутренних узлов сетки. Для того чтобы система стала полностью определенной, необходимо дополнить ее уравнениями, получаемыми из аппроксимации краевых и начальных условий.

Аппроксимация начального условия.

Аппроксимация 3-го граничного условия.

Граничное условие третьего рода выглядит следующим образом: Для его аппроксимирования разложим U (x,y) в окрестности точки (L,у) в ряд Тейлора:

Используя исходное уравнение и граничное условие, получим:

Перейдем к конечным разностям, записываемым в узле (L,j), т.е. на первом слое:

отсюда

Порядок аппроксимации данной разностной схемы

Устойчивость решения.

Несмотря на очевидную простоту данной вычислительной процедуры, её практическая реализация возможна лишь при таких соотношениях между шагами сетки и h, при которых выполняется условие устойчивости решения к ошибкам и неточностям в начальных данных. Для параболического уравнения это условие имеет вид: . Если условие устойчивости разностной схемы не будет выполнено, то в процессе рекуррентного решения возможно накапливание ошибок от слоя к слою, что приведёт к неудовлетворительному результату, несмотря на высокую точность аппроксимации дифференциальной краевой задачи разностной схемой.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ НЕЯВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ

В неявной схеме для получения решения на последующем слое необходимо решать систему алгебраических уравнений специального вида. Преимущество использования неявных схем заключается в существенном ослаблении требований к шагам сетки для выполнения условия устойчивости.

Рассмотрим снова нашу краевую задачу. Для аппроксимации уравнения используем следующий шаблон:

(i, j)

Аппроксимация дифференциального уравнения

(4)

Приведем (4) к виду, удобному для применения метода прогонки:

(5)

Аппроксимация начального условия

(6)

Аппроксимация 3-го граничного условия

Граничное условие второго рода выглядит следующим образом: . Для его аппроксимирования разложим U (x,y) в окрестности точки (1,у) в ряд Тейлора:

Используя исходное уравнение и граничное условие, получим:

Перейдем к конечным разностям, записываемым в узле (М-1,j), т.е. на предпоследнем слое:

отсюда

(8)

Таким образом, построена неявная разностная схема аппроксимирующая краевую задачу с погрешностью аппроксимации порядка . Полученная система линейных алгебраических уравнений (5)-(8) описывается трехдиагональной матрицей:

и в общем случае имеет вид:

где (9)

Для решения таких систем применяется метод прогонки.

Вычисления прогоночных коэффициентов

Из (7) имеем:

Из (8) получаем:

На основе (5) можно записать:

Алгоритм решения системы (9) состоит из двух этапов: прямого и обратного хода прогонки. Обозначим , тогда из первого уравнения системы следует:

Подставим во второе уравнение системы (9) при i=1 и выразим :

Продолжая подстановку далее, получим на к-ом шаге уравнение

, к =1,2,…М-1 (10)

где и ; (11)

причём (12)

Формулы (11) определяют прямой ход прогонки, в результате которого рекуррентно вычисляются прогоночные коэффициенты и . Далее по известному коэффициенту из (12) определяются и , а затем по формуле (10) находятся остальные . Это обратный ход прогонки.

Устойчивость и корректность метода прогонки обеспечивается при условии выполнения следующей теоремы:

если коэффициенты системы уравнений метода прогонки удовлетворяют следующие условия

причем хотя бы одно из неравенств {1} или {2} является строгим, тогда для метода прогонки имеют место неравенства:

которые гарантируют корректность и устойчивость метода прогонки. Выполнение этих условий проверяется в процессе работы программы.