Первая краевая задача для уравнения теплопроводности

Рассмотрим процесс распределения тепла в однородном стержне длиной . Пусть - значение температуры стержня в точке в момент времени .

Первая краевая задача для уравнения теплопроводности состоит в поиске решения уравнения теплопроводности:

при , удовлетворяющему начальному условию: , и граничным условиям: ; где - известная плотность источников тепла, - коэффициент температуропроводности.

Граничные условия могут быть различны в зависимости от заданного режима:

- граничное условие первого рода, означающее, что температура на левом конце стержня изменяется со временем по заданному закону;

- граничное условие второго рода, означающее, что поток тепла на правой границе стержня изменяется по заданному закону;

- граничное условие третьего рода, означающее, что на правом конце стержня по закону Ньютона происходи теплообмен с окружающей средой, температура которой известна.