Логика Гейтинга

Из закона исключенного терьего в двузначной логике выводятся:

1. ØØх É х 2. х É ØØх

Гейтинг создал трехзначную пропозициональную логику, основываясь на утверждении, что истинным является лишь х É ØØх. Импликация и отрицание (таблицы 13, 14 отличаются от определений этих операций. В предыдущей логике лишь в одном случае “истина” обозначена Гейтингом за “1”, “ложь” – “0” и введено понятие “неопределенность” - ½. Тавтология принимает значение 1.

Таблица 13

Таблица 14

х у		½
½		½

[Cxy] = 1, если [x] £ [y];

[Cxy] = [y], если [x] > [y]

Кху и Аху определены как минимум и максимум значений аргумента.

Очевидно, что учет лишь значений функций 1 и 0 приводит к вычислению матрицы двузначной логики. В логике Гейтинга законы непротиворечия, формула (х É у) É (у É х), де Моргана и исключенного четвертого: (Øх Ú хÚ ØØх) являются тавтологиями. Но ни закон исключенного третьего, ни его отрицание не являются тавтологиями.

Казалось бы незначительные изменения системы Лукасевича (матрицы отрицания и импликации), сделанные Гейтингом, не должны значительно изменить полученные результаты. Однако это не так, поскольку в логике Гейтинга многие формулы двузначного исчисления высказываний являются тавтологиями [35].