Трехзначная система Я. Лукасевича

Эта пропозиционная логика была построена Я. Лукасевичем в 1920 году [34]. Лукасевич обозначил «истину» за «1», «ложь» за «0» и ввел третье значение – «нейтрально» - ½. Основными функциями им были взяты отрицание и импликация, а производными – конъюнкция и дизъюнкция. Тавтология в логике Я. Лукасевича принимает значение «1». Отрицание и импликация определяются таблицами 11, 12 и равенствами:

Таблица 11

Х	Nx
½	½

Таблица 12

x É y		½
		½
½			½

[Nx] = 1 – [x];

[Cxy] = 1, если [x] £ [y];

[Cxy] = 1 – [x] + [y], если [x] > [y] или в общем виде;

[Cxy] = min(1,1 – [x] + [y]).

Конъюнкция в системе Лукасевича определяется как минимум значений аргументов: [Kxy] = min([x], [y]), а дизъюнкция – как максимум значений аргументов х и у: [Axy] = max([x], [y]).

Очевидно, что в этих определениях не являются законами логики (тавтологии) законы двузначной логики: исключенного тертьего, непротиворечия, отрицания законов непротиворечия и исключенного третьего. Поэтому система Лукасевича не является отрицанием двузначной логики. В его логике правило снятия двойного отрицания, четыре правила де Моргана и правило контрапозиции: Øа É b ~ b É a являются тавтологиями. Не являются тавтологиями правила приведения к абсурду двузначной логики: (Øх É Øх) É х и (х É (у Ù Øу)) É Øх (т.е. если из х вытекает противоречие, то из этого следует отрицание х). Доказывается это, если задать [x] = ½ и [y] = ½.

В данной логике не являются тавтологиями и ряд формул, выражающие правильные дедуктивные умозаключения традиционной логики, формализованные средствами алгебры логики.

Очевидно, что все тавтологии логики Лукасевича являются тавтологиями в двузначной логике. Но т.к. у Лукасевича имеется еще одно значение истинности - ½, то обратное утверждение неверно.