Метод простых итераций

В качестве первого примера рассмотрим явный стационарный итерационный метод, каноническая форма которого:

(26)

Выясним достаточные условия сходимости этого метода. В соответствии с теоремой 2 для этого достаточно, чтобы матрица системы A была симметричной и положительной и выполнялось неравенство

Учитывая, что , имеем .

Это неравенство выполнено при . Следовательно, метод простых итераций сходится при всех значениях , удовлетворяющих неравенству .

С учетом неравенства , где - собственные числа матрицы A, достаточное условие сходимости можно записать в виде

Условие (26) является также и необходимым для сходимости метода простых итераций.

Пусть - максимальное по модулю собственное число, - соответствующий собственный вектор. При начальном приближении для погрешности k -го приближения имеем:

.

Тогда

.

Если , то и при .

Если , то не стремится к нулю при .