Метод хорд

В некоторых случаях несколько большей скоростью сходимости обладает метод хорд, у которого на втором этапе при выборе очередного приближения внутри отрезка, содержащего корень, учитывается величина невязки на концах отрезка: точка выбирается ближе к тому концу, где невязка меньше (но в некоторых случаях это может замедлить сходимость по сравнению с методом дихотомии).

Геометрический смысл заключается в замене кривой хордой. Очередное приближение находится как точка пересечения хорды с осью абсцисс.

Если - отрезок содержащий корень, то уравнение хорды

. (2)

Для точки пересечения хорды с осью абсцисс имеем

.

принимается за очередное приближение к корню. Далее выбирается тот из промежутков , на концах которого функция имеет значения разных знаков и т. д.. При этом, если дважды непрерывно дифференцируемая функция и знак сохраняется на рассматриваемом промежутке, то полученные приближения будут сходиться к корню монотонно.

Если знаки и сохраняются на исходном промежутке, содержащем корень, то у всех получаемых промежутков один конец будет общим, а именно тот, на котором совпадают знаки функции и второй производной. Например, если, то последовательные приближения к корню вычисляются по формуле

(3)

и корень принадлежит последовательности вложенных отрезков

Если оставить неподвижным тот конец промежутка, где знаки и противоположны, то после вычисления получаем промежуток не содержащий корень уравнения. Дальнейшее развитие событий зависит от поведения конкретной функции и величины промежутка. Возможна как сходимость метода (при этом соседние приближения находятся по разные стороны от корня).

Рассмотрим сходимость метода хорд и оценки погрешности приближенных решений.

Пусть на исходном промежутке функция дважды дифференцируема, знаки и сохраняются и

Из формулы (3) получаем

.

Прибавляя слева и применяя к разности и

формулу конечных приращений (формулу Лагранжа), далее получаем

(4)

Из формулы (4) добавляя справа в скобке * и группируя члены, получаем

.

Так как знаки разностей и совпадают,

,

Причем и одного знака. Тогда

Следовательно,

(5)

где

Из (5) получаем

Отсюда следует, что погрешность приближенного решения стремится к нулю при . В этом случае говорят, что метод сходится. И когда убывание погрешности приближенного решения характеризуется неравенством вида (5) говорят также, что метод имеет линейную скорость сходимости. (Сходится со скоростью геометрической прогрессии.)

Из формулы (4) также следует неравенство, в котором погрешность приближенного решения оценивается через разность двух последовательных приближений

(6)

Здесь и на рассматриваемом отрезке.

Другой вариант оценки погрешности приближенного решения через невязку дает сама формула конечных приращений

Отсюда (с учетом, что ) получаем

(7)

Фомы (6) и (7) позволяют установить, что для получения приближенного решения с заданной точностью (т.е. такого , для которого будет меньше заданного числа ) достаточно выполнить такое количество итераций , после которого будет выполнено хотя-бы одно из условий

или