Решения типовых задач

Задача 1. Даны векторы , , и в некотором базисе трехмерного пространства. Показать, что векторы образуют базис данного трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Векторы образуют базис, если они линейно независимы. Составим векторное равенство . Записывая в виде векторов – столбцов, получим . Задача свелась, таким образом, к решению системы . Решим систему методом Гаусса. . Итак, система приведена к виду . Полученная система имеет единственное нулевое решение: , т.е. векторы линейно независимы и, следовательно, составляют базис. Вектор можно представить в виде , т.е. координаты вектора в этом базисе . Для отыскания координат вектора решим систему линейных уравнений методом Гаусса: .

.

Итак, система приведена к виду .

Находим . т.е. вектор .

Задача 2. Даны векторы , , , и . Показать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Векторы образуют базис, если они линейно независимы. Составим векторное равенство . Записывая в виде векторов – столбцов, получим .

Задача свелась, таким образом, к решению системы

Решим систему методом Гаусса.

. Итак, система приведена к виду .

Полученная система имеет единственное нулевое решение: , т.е. векторы линейно независимы и, следовательно, составляют базис. Вектор можно представить в виде , т.е. координаты вектора в этом базисе . Для отыскания координат вектора решим систему линейных уравнений методом Гаусса: .

.

Итак, система приведена к виду .

Находим , т.е. вектор .

Задача 3. Даны вершины треугольника : . Найти: 1) длину стороны ; 2) внутренний угол в радианах с точностью до 0,001; 3) уравнение высоты, проведенной через вершину ; 4) уравнение медианы, проведенной через вершину ; 5) точку пересечения высот треугольника; 6) длину высоты, опущенной из вершины ; 7) систему неравенств, определяющих треугольник

Решение.

1) Длину стороны (длина вектора ) находим как расстояние между двумя точками плоскости и : .

Поэтому

2) Угол – это угол между векторами и . Координаты этих векторов: , . Таким образом .

Таким образом, получаем

3) Составим уравнение стороны : , или . Угловой коэффициент стороны равен ; следовательно, в силу условия перпендикулярности, угловой коэффициент высоты, проведенной из вершины , равен . Уравнение этой высоты имеет вид , получаем , или .

4) Пусть точка М середина стороны . Найдем ее координаты:

т. .

Уравнение медианы находим с помощью уравнения прямой, проходящей через две данные точки: , получим .

5) Составим уравнение еще одной высоты треугольника . Например, выберем высоту, проведенную из вершины . Аналогично пункту 3) составим уравнение стороны :

.

Угловой коэффициент стороны равен ; следовательно, в силу условия перпендикулярности, угловой коэффициент высоты, проведенной из вершины , равен . Уравнение этой высоты имеет вид , получаем , или . Поскольку мы ищем точку пересечения высот треугольника, то координаты этой точки должны удовлетворять системе уравнений ; . Таким образом точка пересечения высот треугольника имеет координаты

6) Найдем длину высоты, опущенной из вершины по формуле расстояния от точки до прямой : : . Таким образом

7) Стороны треугольника заданы уравнениями прямых:

: ; (см. пункт 3).

: ; (см. пункт 5).

: ; ; .

Каждая из этих прямых делит координатную плоскость на две полуплоскости. Область треугольника лежит выше прямой , т.е. в полуплоскости, которая задается неравенством: . Прямая делит координатную плоскость на две полуплоскости, нам необходима та, которая удовлетворяет неравенству: . Из двух полуплоскостей, которые разделяет прямая , выбираем ту, которая задается неравенством: .

Таким образом, область треугольника , определяется системой неравенств:

Задача 4. Даны координаты вершин пирамиды :

. Найти:

1) длину ребра ;

2) угол между ребрами и ;

3) угол между ребром и гранью ;

4) площадь грани ;

5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой ;

7) уравнение плоскости ;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань . Сделать чертеж.

Решение.

1) Длина ребра есть длина вектора , координаты которого Т.к. длина вектора находится по формуле , то .

2) Угол между ребрами и есть угол между векторами

=(-1,5,1) и =(4-6;4-1;10-1)=(-2;3;9), поэтому

Отсюда

3) Обозначим угол между ребром и гранью через , тогда , где – угол между вектором =(-2;3;9) и нормальным вектором плоскости , которым является, например, векторное произведение векторов и

Т.к. векторное произведение векторов =() и находится по формуле , то . Итак, . Найдем теперь угол

значит

или

4) Т.к. длина векторного произведения двух векторов равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах, как на сторонах, то площадь S грани (площадь треугольника) найдем как половину площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т.е. как половину длины векторного произведения этих векторов.

Т.к. (см. пункт 3), то

5) Т.к. объем V треугольной пирамиды, построенной на векторах , находится по формуле , где - смешанное произведение векторов , то

. Найдем смешанное произведение векторов

и по формуле

:

(определитель вычислен по схеме треугольников). Итак, .

6) Т.к. уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеет вид , то уравнение прямой найдем как уравнение прямой, проходящей через точку в направлении вектора : .

7) Т.к. уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору имеет вид ( нормальный вектор плоскости), то уравнение плоскости найдем как уравнение плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором (см. пункт 3):

или

8) Уравнение высоты, опущенной из вершины на грань , найдем как уравнение прямой, проходящей через точку в направлении вектора -нормального вектора плоскости (см. пункт 3): .

Задача 5. Найти матрицу, обратную матрице . Проверить результат, вычислив произведение данной и обратной матриц.

Решение. Определитель матрицы

, значит обратная матрица существует. Найдем матрицу , транспонированную к : . Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы и составим из них присоединенную матрицу .

.

Найдем обратную матрицу :

.

Проверка:

.

.

Задача 6. Дана система линейных уравнений

Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Решение. 1) Докажем совместность системы. Для этого вычислим ранг матрицы А исходной системы и ранг расширенной матрицы системы

Для удобства вычислений элементарные преобразования будем производить с матрицей :

~ ~ ~

т.е. по теореме Кронекера–Капелли система совместна.

2) Решим систему методом Гаусса. Для этого матрицу приведем к диагональному виду:

тиии

3) Решим систему матричным способом. Для этого введем следующие матрицы и исходную систему запишем в матричном виде.

.

Вычислим обратную матрицу . Определитель матрицы А , значит обратная матрица существует. Затем, вычислив к каждому элементу матрицы А алгебраические дополнения, составим из них матрицу , транспонируем ее и находим обратную матрицу .

= .

Ответ:

Задача 7. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение. а) Для раскрытия неопределенности разделим числитель и знаменатель дроби на высшую степень (на ):

. Здесь учитывалось стремление к нулю дробей как обратных к бесконечно большим функциям.

б) Для раскрытия неопределенности умножим и разделим на выражение, сопряженное числителю, т.е. на :

=

.

Использовалась формула .

в) Для раскрытия неопределенности воспользуемся эквивалентностями (следствиями первого замечательного предела): и при и тем, что при вычислении предела частного можно одну бесконечно малую величину заменить на ей эквивалентную в этом процессе:

.

г) Для раскрытия неопределенности преобразуем выражение, чтобы воспользоваться следствием второго замечательного предела:

.

=

.

Здесь бесконечно малой величиной является выражение .

Задача 8. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

1) при а) ; б) ; в) ;

2) ; 3) ; 4) .

Решение. 1) а) .

б) Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители:

.

в) Для раскрытия неопределенности разделим числитель и знаменатель дроби на высшую степень (на ):

. Здесь учитывалось стремление к нулю дробей , как обратных к бесконечно большим функциям.

2) Для раскрытия неопределенности умножим и разделим на выражение, сопряженное знаменателю до разности квадратов

, т.е. на :

=

3) Для раскрытия неопределенности воспользуемся эквивалентностями (следствиями первого замечательного предела): и при и тем, что при вычислении предела частного можно одну бесконечно малую величину заменить на ей эквивалентную в этом процессе:

.

4) Для раскрытия неопределенности преобразуем выражение, чтобы воспользоваться следствием второго замечательного предела:

.

Здесь бесконечно малой величиной является выражение .

Задача 9. Найти точки разрыва функции

Решение. Так как у данной функции нет точек, в которых она неопределенна, то точками разрыва могут быть либо нули знаменателя, либо точки в которых происходит смена аналитических выражений. В данном случае только точки и (в остальных точках данная функция непрерывна).

Выясним будет ли точкой разрыва данной функции. Для этого найдем левосторонний и правосторонний пределы функции в данной точке:

.

Так как , то – точка разрыва, причем первого рода, поскольку оба односторонних предела конечные. Этот разрыв не устраним, т.к.

.

Точка есть точка разрыва данной функции второго рода, т.к.

.

В данном случае можно не вычислять.

Ответ: – точка разрыва первого рода,

– точка разрыва второго рода.