Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
1) Найти
Решение. Воспользуемся заменой переменной, получим
.
2) Найти .
Решение. Применим метод интегрирования по частям
.
3) Найти
Решение. Применим метод интегрирования по частям дважды
.
4) Найти
Решение. Разложим знаменатель подынтегральной рациональной функции на множители: Правильная дробь разлагается в сумму простейших дробей: Воспользовавшись методом неопределенных коэффициентов, найдем коэффициенты A, В, C. Приведем правую часть равенства к общему знаменателю и приравняем числители: Подставляем корни знаменателя:
Таким образом, искомое разложение на простейшие дроби имеет вид:
В результате получаем:
.
5)Найти
Решение. Разложим знаменатель на множители
.
Подынтегральная функция разложится на сумму простейших дробей:
Приведем правую часть равенства к общему знаменателю и приравняем числители: Подставляем корни знаменателя:
Для нахождения B, приравниваем коэффициенты при , получаем 1= A + B, откуда . Таким образом, искомое разложение на простейшие дроби имеет вид
В результате получаем:
.
6)Найти
Решение. Рациональная дробь – правильная и ее разложение на простейшие дроби имеет вид: Сравнивая числители дробей в обеих частях равенства, получим Имеется только один действительный корень , этого достаточно для нахождения только одного коэффициента А:
Для нахождения остальных коэффициентов раскроем скобки в правой части равенства и запишем ее в виде многочлена четвертой степени:
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x левой и правой частях, получим систему уравнений для нахождения неопределенных коэффициентов
Отсюда находим Искомое разложение имеет вид
Следовательно
Второй и третий интеграл справа находим одинаковой заменой и окончательно получаем
7) Найти
Решение. Подынтегральная функция рационально зависит от и ; применим подстановку , тогда
, ,
и
Возвратившись к старой переменной, получим
8)Найти
Решение. Выполним замену переменной Числитель подынтегрального выражения можно представить следующим образом:
Поэтому имеем
Возвращаясь к переменной , получим
|
Решение. Воспользуемся формулой , где – функция, график которой ограничивает фигуру сверху, а – снизу (на отрезке ).
.
Задача 19. Вычислить длину дуги цепной линии от до .
Решение. Длину дуги вычислим по формуле .
Найдем : или . Тогда
Задача 20. Найти общее решение дифференциального уравнения xy’ + 2y = x2 и частное решение, удовлетворяющее начальному условию при .
Решение. Полагаем y = u (x) v(x), находим y’ = u’v + uv’. Подставим вместо y и y’ соответствующие выражения в исходное уравнение:
x (u’v + uv’) + 2uv = x2, или xu’v + u (xv’ + 2v) = x2. (*)
Подберем v = v (x) так, чтобы xv’ + 2v = 0, или , откуда интегрируя, имеем или
Уравнение (*) примет вид:
u’v = x, или u’ = x, отсюда u’ = x3, du = x3 dx, u =
у = u (x) v (x) = или - общее решение.
Найдем частное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию при : , откуда . Таким образом, - частное решение.
Задача 21. Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение. Поскольку это уравнение однородное то применим подстановку , тогда . После подстановки в уравнение получим . Разделим переменные: . Интегрируя левую часть равенства по u, а правую – по x, получим:
Вернемся к прежней переменной:
. Общий интеграл: .
Задача 22. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям при .
Решение. Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Найдем – общее решение соответствующего однородного уравнения
. Составим характеристическое уравнение: . Его корни действительные различные, поэтому .
Т.к. правая часть неоднородного уравнения и не корень характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде: .
Находим . Подставляя в неоднородное уравнение, получим .
Итак, .
Общее решение линейного неоднородного уравнения , поэтому общее решение .
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .
Т.к. , то имеем систему уравнений для нахождения постоянных и :
.
Итак, искомое частное решение: .
Задача 23. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .
Решение. Имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Найдем – общее решение соответствующего однородного уравнения . Для этого составим характеристическое уравнение . Его корни комплексные, поэтому .
Т.к. правая часть неоднородного уравнения и - не корень характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде . Находим
.
Подставляем в неоднородное уравнение, получим
.
Итак, .
Общее решение линейного неоднородного уравнения , поэтому общее решение .
Найдем частное решение, удовлетворяющее условиям .
Т.к. , то имеем систему уравнений для нахождения постоянных
.
Итак, искомое частное решение: .
Задача 24. Исследовать сходимость числового ряда
Решение. Воспользуемся признаком Даламбера:
, поэтому ряд сходится.
Задача 25. Найти область сходимости степенного ряда .
Решение. Имеем . Находим радиус сходимости
, (-10, 10) – интервал сходимости.
Исследуем на сходимость степенной ряд на концах интервала сходимости:
а) при получаем числовой ряд , который сходится по признаку Лейбница.
б) при x=10 получаем расходящийся гармонический ряд .
Итак, [-10, 10) - область сходимости.
Задача 26. Написать три первых члена степенного ряда по заданному общему члену найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах этого интервала.
Решение.
Интервал сходимости этого степенного ряда с центром в нуле имеет вид <-R;R>. Радиус сходимости R найдем по формуле , где – коэффициенты степенного ряда.
Имеем , поэтому =
. Итак, <-5;5> – интервал сходимости.
При имеем ряд , который расходится ( сходится при и расходится при ).
При получаем ряд , который сходится по признаку Лейбница (знакочередующийся ряд, модули членов которого убывают и стремятся к нулю). Итак, [-5;5) – область сходимости данного ряда.
Задача 27. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подинтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировав его почленно.
Решение. Заменив на в разложении
,
получим .
Умножая полученный ряд на
и почленно интегрируя по отрезку , принадлежащему интервалу сходимости ряда , получим
Взяв первые шесть членов разложения, на основании следствия из теоремы Лейбница для сходящегося знакочередующегося ряда мы допустим погрешность , не превышающую первого отброшенного члена (по абсолютной величине), т.е.
.
Итак,
.
Задача 28. Выразить определенный интеграл в виде сходящегося ряда, используя ряд Маклорена для подинтегральной функции. Найти приближенное значение этого интеграла с точностью до 0,001.
Решение. Заменив на в разложении получим .
Умножая полученный ряд на
и почленно интегрируя по отрезку , принадлежащему интервалу сходимости ряда , получим
Взяв первые четыре члена разложения, на основании следствия из теоремы Лейбница для сходящегося знакочередующегося ряда мы допустим погрешность , не превышающую первого отброшенного члена (по абсолютной величине), т.е.
.
Итак, .
Задача 29. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания первым стрелком равна 0.8, вторым – 0.9. Найти вероятность того, что при залпе по мишени попадет только один стрелок.
Решение. Пусть событие А1 – первый стрелок попал по мишени, А2 – второй стрелок попал по мишени, В – при залпе по мишени попал только один стрелок. Событие В словами можно описать следующим образом: при залпе по мишени (первый стрелок попал, а второй промахнулся) или (второй стрелок попал, а первый промахнулся). Событие означает, что при залпе по мишени промахнулся первый стрелок, – промахнулся второй. Произведение событий означает, что при залпе по мишени первый стрелок промахнулся, а второй при этом попал по мишени, – первый попал и второй промахнулся. Тогда . События и несовместные, следовательно (события А1 и А2 независимые, следовательно, события и так же независимые) =(по теореме о вероятности произведения независимых событий) = = ( ) =
Задача 30. Случайная величина X задана функцией распределения
Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
Решение. Найдем плотность распределения вероятностей случайной величины X:
.
Математическое ожидание случайной величины X:
.
Дисперсия случайной величины X:
.
Задача 31. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения с надежностью , зная выборочную среднюю , объем выборки и среднее квадратическое отклонение .
Решение. Справедливо равенство: , т.е. с надежностью можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр ; точность оценки .. Найдем . Из соотношения получим . По таблице значений функции находим .
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 673 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!