Условия статической определимости геометрически неизменяемых систем

Выше было установлено, что связь сооружения с землей, схема­тически изображаемая тремя стержнями, не пересекающимися в од­ной точке, геометрически неизменяема. Такая связь статически определима, так как число усилий в этих стержнях равно числу уравнений статики (например, Σ Х =0, Σ Y =0 и Σ М= 0 ), которые можно составить для плоской системы сил, находящейся в равновесии.

Сооружение статически определимо относительно опорных за­креплений лишь в том случае, когда число параметров, определяю­щих реакции этих закреплений, равно трем. Этому условию удов­летворяют, например, следующие две системы опорных закреплений:

1) комбинация шарнирно-подвижной и шарнирно-неподвижной опор - для сооружений, опирающихся в двух точках (рис. 2.12, а);

2) комбинация трех шарнирно-подвижных опор (рис. 2.12, б) - при наличии трех опорных точек в сооружении; при этом направле­ния реакций всех трех опор не должны пересекаться в од­ной точке и не должны быть параллельны друг другу.

Рис. 2.12.

Наличие у геометрически неиз­меняемой системы четырех и более опорных стержней, среди которых имеется три стержня с направле­ниями осей, не пересекающимися в одной точке и не параллельными друг другу, указывает на то, что сооружение статически неопреде­лимо.

Перейдем теперь к условиям, которым должны удовлетворять сами статически определимые стержневые системы (фермы), т. е. такие системы, усилия в элементах (стержнях) которых могут быть найдены с помощью одних лишь уравнений статики.

Первое условие. При действии на шарнирную ферму сосредоточенных сил, при­ложенных в узлах (шарнирах), в ее прямолинейных стержнях воз­никают одни лишь продольные (сжимающие или растягивающие) силы. Для доказательства усло­вия этого выделим из фермы (рис. 2.13, а)стержень аb (рис. 2.13, б)и рассмотрим условия его равновесия.

Рис. 2.13.

Если к элементу аb непосред­ственно не приложена внешняя на­грузка, то равновесие его возмож­но только тогда, когда силы N, действующие на стержень от шар­ниров а и b, равны друг другу по числовому значению величины и направлены в противоположные стороны. Силы N проходят через центры шарниров, так как соеди­нения стержней в узлах предполагаются выполненными с помощью идеальных шарниров (свободных от трения). Следовательно, силы N направлены вдоль прямой, проходящей через центры шарниров а и b, а потому вызывают в поперечных сечениях стержня аb лишь продольные силы. Если ферма имеет криволинейные стержни, то в поперечных сечениях этих стержней кроме продольных сил возни­кают изгибающие моменты, вызывающие в них дополнительные на­пряжения.

Второе условие. Если ферма в целом (рис. 2.14, а)под действием сил, приложен­ных к ее узлам, находится в равновесии, то и любой из ее узлов (рис. 1.21, б)также находится в равновесии, т. е. внешняя нагрузка, действующая на узел, и внутренние усилия в стержнях, сходящихся в данном узле, взаимно уравновешиваются.

На каждый узел фермы действует система сил, пересекающихся в одной точке. Для такой системы сил статика дает два уравнения равновесия:

Σ Х =0, Σ Y =0.

Если ферма имеет К узлов, то для них можно составить 2 К урав­нений равновесия, с помощью которых должны быть найдены уси­лия во всех стержнях фермы и три неизвестные опорные реакции.

Рис. 2.14.

Любые другие уравнения равновесия для отдельных частей фермы (например, группы узлов) или для всей фермы в целом могут быть получены из этих уравнений, а потому не дадут новых условий для определения неизвестных усилий. Следовательно, ферма будет ста­тически определима, если число стержней ее S равно удвоенному числу узлов минус 3:

S =2 К -3 (2.3)

Полученная зависимость между числом стержней и числом узлов статически определимой фермы совпадает с условием (2.1) ее гео­метрической неизменяемости.

Следовательно, всякая простейшая ферма, т. е. ферма, образо­ванная из стержневого шарнирного треугольника последовательным присоединением узлов (каждого с помощью двух стержней, не лежа­щих на одной прямой), является системой геометрически неизменяе­мой и одновременно статически определимой.

Если при подсчете числа стержней S системы учесть и опорные стержни, то условие S =2 К -3 примет вид:

S_общ =2 К (2.4)

Рис.2.15.

Этой формулой удобно пользоваться в тех случаях, когда сооружение хотя и является геометрически изменяемым (т. е. количество S его стержней меньше, чем 2 К -3), но так связано с землей, что образует вместе с ней единую геометрически неизменяемую стати­чески определимую систему. Пример такого сооружения дан на рис. 2.15. Для него К =8, количество стержней в сооружении S (без опорных) равно 12. Таким образом, оно не удовлетворяет усло­вию (1.1): S =2 К -3 (так как S =12, а 2 К -3=2·8-3=13) и, сле­довательно, является геометрически изменяемым. Однако S_общ системы вместе с опорными стержнями, равное 16, удовлетворяет условию (2.4), а потому эта система может быть (и в данном случае является) геометрически неизменяемой статически определимой системой^х.

Все стержни статически определимой системы являются с точки зрения геометрической неизменяемости безусловно необходимыми, т. е. в такой системе нет ни одной лишней связи (ни одного лишнего стержня).

Если геометрически неизменяемая система в своем составе имеет число стержней, превышающее минимально необходимое, то она является статически неопределимой.

Статика сооружений рассматривает только геометрически не­изменяемые системы, разделяя их на статически определимые и статически неопределимые.