![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Суммой векторов a и b называется такой третий вектор c, что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы a и b служат сторонами параллелограмма, а вектор c -- его диагональю (рис. 10.2).
Сложение векторов называется сложением по правилу параллелограмма.
Вектор b называется противоположным вектору a, если a и b коллинеарные, имеют противоположные направления и .
Вектор, противоположный вектору a, обозначается , то есть
.
Разностью векторов a и b называется сумма . Разность обозначается
, то есть
.
Произведением вектора a на вещественное число называется вектор b, определяемый условием
1)
и, если , то еще двумя условиями:
2) вектор b коллинеарен вектору a;
3) векторы b и a направлены одинаково, если , и противоположно, если
.
Произведение вектора a на число обозначается
(рис 1.4).
Рис.10.4.Умножение вектора на число
Когда речь идет о связи векторов с числами, то иногда числа называют скалярами. Таким образом, определение 10.9 задает умножение вектора на скаляр.
Рассмотрим некоторые свойства операций сложения и умножения вектора на число. Часть из них, которые будут особенно важны при обобщении понятия вектора, выделим в отдельную теорему.
Для любых векторов и любых вещественных чисел
выполняются следующие свойства:
1) (свойство коммутативности операции сложения);
2) (свойство ассоциативности операции сложения);
3) ;
4) ;
5) (свойство ассоциативности по отношению к числам);
6) (свойство дистрибутивности по отношению к умножению на число);
7) (свойство дистрибутивности по отношению к умножению на вектор;
8) .
Случаи, когда или a и b коллинеарны, предоставляем проанализировать читателю самостоятельно.
Для доказательства свойства 7 заметим, что векторы и
коллинеарны. Без ограничения общности можно считать, что
(в противном случае поменяем местами
и
в доказываемом равенстве).
Пусть и
одного знака. Тогда
,
.
Пусть и
имеют разные знаки. Тогда
,
. Получили, что
в обоих случаях.
Векторы f и g имеют одно направление. Оно совпадает с направлением a при и противоположно при
. Следовательно,
. Свойство 7 доказано.
Свойство 8 очевидным образом вытекает из произведения вектора на число.
Из свойства ассоциативности следует, что в сумме векторов, содержащей три и более слагаемых, можно скобки не ставить. Как найти сумму нескольких слагаемых, не используя попарных сумм, видно из рисунка 10.7.
Сформулируем еще несколько очевидных свойств операций сложения и умножения вектора на число:
9) равенство верно тогда и только тогда, когда или
, или
;
10) вектор, противоположный вектору a, равен , то есть
;
11) для любых векторов a и b существует такой вектор x, что .
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 385 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!