Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Любой декартовой системе координат на плоскости или в трехмерном пространстве (также и в пространстве другой размерности) может быть сопоставлен базис, состоящий из векторов, каждый из которых направлен вдоль своей координатной оси. Это относится и к прямоугольным декартовым координатам (тогда соответствующий базис называется ортогональным), так и к косоугольным декартовым координатам (которым будет соответствовать неортогональный базис).
Часто удобно выбрать длину (норму) каждого из базисных векторов единичной, такой базис называется нормированным.
Наиболее часто базис выбирают ортогональным и нормированным одновременно, тогда он называется ортонормированным.
В любом векторном пространстве базис можно выбрать различным образом (поменяв направления его векторов или их длины, например).
Декартовы координаты в трехмерном пространстве (левая (на рисунке слева) и правая (справа) декартовы системы координат (левый и правый базисы). Принято по умолчанию использовать правые базисы (это общепринятое соглашение, если только какие-то особые причины не заставляют от него отойти — и тогда это оговаривается явно). Базисом, соответствующим такой системе координат является тройка векторов, каждый из которых направлен вдоль какой-то из осей (изображаются три базисных вектора как правило исходящими из общего начала).
Обозначение векторов базиса может быть в принципе произвольным. Часто используют какую-нибудь букву с индексом (числовым или совпадающим с названием координатной оси), например:
или
— типичные обозначения базиса двумерного пространства (плоскости).
или
— трехмерного пространства. Для трехмерного пространства часто по традиции используется и обозначение
Представление какого-то конкретного (любого) вектора пространства в виде линейной комбинации векторов базиса (суммы базисных векторов числовыми коэффициентами), например
или
или, употребляя знак суммы Σ:
называется разложением этого вектора по этому базису.
Числовые коэффициенты (ax, ay, az) называются коэффициентами разложения, а их набор в целом — представлением (или представителем) вектора в базисе (Разложение вектора по конкретному базису единственно; разложение одного и того же вектора по разным базисам — разное, то есть получается разный набор конкретных чисел, однако в результате при суммировании — как показано выше — дают один и тот же вектор).
Базис Га́меля (англ. Hamel basis) — множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их конечной линейной комбинации (полнота базиса), и такое представление для любого вектора единственно.
Критерием единственности решения задачи разложения вектора по полной системе векторов является линейная независимость векторов, входящих в полную систему. Линейная независимость означает, что всякая линейная комбинация векторов системы, в которой хотя бы один коэффициент ненулевой, имеет ненулевую сумму. То есть это эквивалентно единственности разложения нулевого вектора.
В случае линейных пространств, когда всякий ненулевой коэффициент обратим, линейная независимость эквивалентна невозможности выразить какой-либо вектор полной системы линейной комбинацией остальных векторов. (В более общей ситуации — модулей над кольцами — эти два свойства неэквивалентны). Невозможность выразить никакой вектор базиса через остальные означает минимальность базиса как полной системы векторов — при удалении любого из них теряется полнота.
В вопросе о существовании базисов основной является следующая лемма (доказательство этой леммы в общем случае неконструктивно и использует аксиому выбора):
Лемма. Пусть S 1 — полная, а S 2 — линейно независимая система векторов. Тогда система S 1 содержит набор векторов, дополняющий S 2 до базиса пространства V.
Следствием этой леммы являются утверждения:
Любые два базиса в линейном пространстве равномощны, так что мощность базиса — величина, независящая от выбора базисных векторов. Она называется размерностью пространства (обозначается dim V). Если линейное пространство имеет конечный базис, его размерность конечна и оно называется конечномерным, в противном случае его размерность бесконечна, и пространство называется бесконечномерным.
Выбранный базис линейного пространства позволяет ввести координатное представление векторов, чем подготавливается использование аналитических методов.
Линейное отображение из одного линейного пространства в другое однозначно определено, если задано на векторах какого-нибудь базиса. Комбинация этого факта с возможностью координатного представления векторов предопределяет применение матриц для изучения линейных отображений векторных пространств (в первую очередь — конечномерных). При этом многие факты из теории матриц получают наглядное представление и приобретают весьма содержательный смысл, когда они выражены на языке линейных пространств. И выбор базиса при этом служит хоть и вспомогательным, но в то же время ключевым средством.
· Преобразования базисов и координат, криволинейные координаты
· Преобразования базисов и координат
· Взаимные, сопряженные базисы
· В дальнейшем речь пойдет о базисах в трехмерном пространстве.
· Определение. Базисы ri, rk называются взаимными или сопряженными, если выполнено условие (ri, rk) = .
· Теорема. Для любого базиса ri существует единственный взаимный базис.
· Из условия r1 r2, r1 r3, поэтому этот вектор надо искать в виде c[r2, r3], из условия (r1, r1) = 1 находится множитель c. Таким образом,
· r1 = [r2, r3]/(r1, r2, r3), r2 = [r3, r1]/(r1, r2, r3), r3 = [r1, r2]/(r1, r2, r3).
· Любой вектор пространства можно разложить по базисам
· x = xk rk = rk xk.
· Координаты xk называются ковариантными координатами, а xk – контравариантными координатами.
· Соглашение 1. В любом выражении, состоящем из некоторого числа сомножителей наличие индекса у двух сомножителей на разных уровнях будет означать суммирование по этому индексу от 1 до 3. Следует придерживать единого порядка написания индексов суммирования. Договоримся при написании этих индексов следовать правилу: «левый внизу, правый вверху».
· Соглашение 2. Иногда, если не возникает путаницы, стрелка над вектором будет опускаться. Тоже самое касается жирности шрифта для обозначения вектора.
· Например, формулы разложений по базисам будут выглядеть следующим образом
· x = xk rk = rk xk.
· Еще один пример: ai cj = ai cj.
· Найдем выражение для ко и контравариантных координат
· x = xi ri = ri xi Þ
· xi = (x, ri), xi = (x, ri) (1).
· Подставляя выражения для координат в разложения вектора, получим формулы Гиббса
· x = (x, ri) ri = ri (x, ri) (2)
· Подставим выражения x из формул Гиббса (2) в (1)
· xi = (x,rj)(rj,ri) = xj gji (3)
· xi = (rj,ri) (x,rj) = gji xj (4)
· Матрицы gji = (rj,ri), gji = (rj,ri) симметричны и называются метрическими тензорами. Беря в качестве x в формуле (2) вектора rj, rj получим формулы, связывающие векторы взаимных базисов с помощью метрических тензоров
· rj = gji ri
· rj = ri gji.
· Подобные операции носят название операций поднимания и опускания индекса с помощью метрического тензора. Умножим первое равенство на rk второе на rk получим
· = gji gik
· = gik gji.
· Эти равенства показывают, что матрицы метрических тензоров взаимно обратные.
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 1785 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!