Общее понятие о линейных векторных пространствах. Их определение

Линейное, или векторное пространство над полем P — это непустое множество L, на котором введены операции

1. сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый и
2. умножения на скаляр (то есть элемент поля P), то есть любому элементу и любому элементу ставится в соответствие единственный элемент из , обозначаемый .

При этом на операции накладываются следующие условия:

1. , для любых (коммутативность сложения);
2. , для любых (ассоциативность сложения);
3. существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности L не пусто;
4. для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента относительно сложения).
5. (ассоциативность умножения на скаляр);
6. (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).
7. (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);
8. (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Элементы множества L называют векторами, а элементы поля P — скалярами. Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.

1. Векторное пространство является абелевой группой по сложению.
2. Нейтральный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.
3. для любого .
4. Для любого противоположный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.
5. для любого .
6. для любых и .
7. для любого .