Приложения. Образец решения контрольных задач типового варианта

Образец решения контрольных задач типового варианта.

1 – 10. Вычислить определитель:

а) непосредственным разложением по строке;

б) непосредственным разложением по столбцу;

Решение. а) вычисляем определитель разложением по элементам первой строки: = .

Тогда = =

б) вычисляем определитель непосредственным разложением по элементам второго столбца: = .

Тогда = = .

Ответ: .

11-20. Найти матрицу , если:

, .

Решение:

1) Транспонируем матрицу : .

2) Вычисляем произведение матриц :

.

3) Находим матрицу :

.

4) Находим матрицу :

.

Ответ: .

21-30. Найти собственные числа и векторы матрицы .

Множество собственных чисел матрицы совпадает с множеством корней характеристического уравнения матрицы : , а множество собственных векторов, отвечающих собственному числу , совпадает с множеством ненулевых решений матричного уравнения: , определяемым методом Гаусса.

Решение:

1) Составляем характеристическое уравнение матрицы :

.

Записываем его в виде алгебраического уравнения и находим действительные корни (среди них могут быть и кратные):

, .

Таким образом, собственными числами матрицы являются: и .

2) Находим собственные векторы матрицы , отвечающие различным собственным числам и .

2.1) Составляем матричное уравнениедля нахождения собственных векторов , отвечающих собственному числу :

или

,

записываем его в виде системы линейных уравнений: и решаем методом Гаусса. Полученная система, очевидно, эквивалентна системе , имеющей специальный (трапециевидный) вид. Такая система имеет бесконечно много решений, которые записывают в виде общего решения. Для записи общего решения этой системы указываем её базисные и свободные неизвестные. Базисными являются неизвестные, столбцы коэффициентов системы при которых образуют базисный минор матрицы этой системы. Такой минор образует, например, столбец коэффициентов при неизвестной : . Поэтому выбираем в качестве базисной – неизвестную , тогда свободными будут неизвестные и . Свободным неизвестным придаём разные, произвольные постоянные значения: , , где , , одновременно, и выражаем через них значение базисной неизвестной из уравнения системы: . Тогда общее решение системы, задающее множество всех собственных векторов , отвечающих собственному числу будет иметь вид: .

2.2) Составляем матричное уравнениедля нахождения собственных векторов , отвечающих собственному числу :

или

,

записываем его в виде системы линейных уравнений: и решаем методом Гаусса. Полученная система, очевидно, эквивалентна системе , имеющей специальный (трапециевидный) вид. Система имеет бесконечно много решений. Для записи её общего решения указываем базисные и свободные неизвестные. Базисный минор матрицы системы образуют столбцы коэффициентов при неизвестных и : . Поэтому выбираем в качестве базисных – неизвестные и , тогда свободной будет неизвестная . Свободной неизвестной придаём произвольное постоянное значение: , где и выражаем через неё значения базисных неизвестных и из уравнений системы специального (трапециевидного) вида, начиная с последнего уравнения: . Тогда общее решение системы, задающее множество всех собственных векторов , отвечающих собственному числу , будет иметь вид: , .

Ответ: , , , ;

, , .

31 – 40. Дана система уравнений: . Требуется:

а) найти решение системы методом Крамера; б) записать систему в матричном виде и найти её решение методом обратной матрицы; в) найти решение системы методом Гаусса.