Анализ характеристик и параметров аналого-цифрового преобразования сообщения

Аналого-цифровое преобразование (АЦП) исходного сообщения осуществляется в три этапа (см. рис. 1). Вначале сообщение дискретизируется по времени, далее квантуется по уровню и затем квантованные уровни кодируются. В результате чего формируется сигнал импульсно-кодовой модуляции (ИКМ). Все эти преобразования иллюстрируются графически на рис. 2.

Теоретической основой дискретизации служит теорема В.А.Котельникова. Суть ее в следующем: любая непрерывная функция , ограниченная по спектру верхней частотой , может быть точно представлена последовательностью своих отсчетов , взятых в момент времени , кратные интервалу дискретизации

.

(6)

По условию курсовой работы отклик идеального ФНЧ удовлетворяет данной теореме. Поэтому его можно продискретизировать, т.е. преобразовать из аналоговой формы в дискретно-аналоговую , с частотой дискретизации

.

(7)

Рис. 2.

Дискретизатор можно реализовать в виде перемножителя двух функций: непрерывного сообщения и периодической последовательности дискретизирующих импульсов (см. рис. 2 а). Отклик дискретизатора изображен на рис. 2 б (заштрихованная последовательность импульсов). Длительность дискретизирующих импульсов много меньше интервала (периода) дискретизации и поэтому часто изменениями амплитуды импульсов в интервале длительностью пренебрегают.

В момент импульсы на выходе дискретизатора могут принимать бесчисленное множество значений из ограниченного или неограниченного диапазона , называемого шкалой сообщения. В результате равномерного квантования с шагом и порогов квантования . На рис. 2 б и в показана процедура квантования для .

Для определения шага квантования и порогов квантования учтем, что с вероятностью 0.997 гауссовский случайный процесс находится в диапазоне . Если в этом диапазоне разместить () уровня, а два уровня отвести на области вне этого диапазона, т.е. и , то шаг квантования можно рассчитать следующим образом

.

(8)

Пороги квантования можно найти так

,

(9)

где крайние пороги соответственно равны . Уровни квантования в простейшем случае определяются следующим соотношениями

, ,

(10)

Таким образом, правило квантования отсчетов состоит в следующем. Если входной отсчет попадает в интервал , то оклик квантователя принимает значение (см. рис. 2 б). Характеристика квантователя для приведена на рис. 3.

В процессе квантования образуется специфическая погрешность , называемая шумом квантования. Вычислим среднюю квадратическую погрешность квантования (СКПК), иначе мощность шума квантования

,

(11)

где и соответственно мощности

(дисперсии) входного и выходного

сигналов квантователя; - коэффи-

циент взаимной корреляции между

этими сигналами, величину для

гауссовского процесса находят так

,

(12)

где постоянная

.	Рис. 3 (13)

В этом соотношении - производная от характеристики квантования (см. рис. 3); - ФПВ гауссовской величины , определяемая соотношением (1) с заменой на . Подставляя теперь (13) в (12), а затем в (11) окончательно для СКП квантования имеем

,

(14)

где мощность квантованного процесса равна

.

(15)

В данном соотношении распределение вероятностей дискретной случайной величины , , с учетом (9), рассчитывают так

,

(16)

где - табулированная функция Лапласа,

.

(17)

Интегральное распределение вероятностей

; , ; , .

(18)

Полагая, что отсчеты на выходе дискретизатора некоррелированны между собой, а для гауссовского процесса, следовательно, и независимы, определим информационные характеристики отклика квантователя, являющегося входным сигналом - ичного ДКС. Квантованная последовательность , , с учетом независимости ее значений определяется одномерным распределением вероятностей вида (16).

Энтропия равна

.

(19)

Производительность или скорость ввода информации в ДКС определяется соотношением

.

(20)

Энтропию измеряют в двоичных единицах (битах), а производительность в двоичных единицах в секунду (бит/с).

Избыточность последовательности источника

.

(21)

где - максимальная энтропия, для источника дискретных сообщений

.

(22)

В кодере АЦП последовательность , преобразуется в последовательность кодовых символов . При организации цифровой связи широкое распространение получило двоичное кодирование и . Собственно процедура двоичного безизбыточного блочного кодирования отсчетов состоит в следующем. Физические уровни , , вначале перенумеровываются, т.е. заменяются их номерами , иначе представляются в виде десятичных чисел от 0 до .

Например, для , (см. рис. 2 в). Затем эти десятичные числа представляют в двоичной системе счисления с основанием 2. Это представление имеет вид

,

(23)

где - двоичный кодовый символ ( = 0 или 1) десятичного числа , расположенный в - й позиции кодовой комбинации .

Таким образом, в момент времени уровни переводятся в числа , а последние в кодовые комбинации , , В результате образуется сигнал импульсно-кодовой модуляции (ИКМ). Пример такого преобразования приведен на рис. 2 в и д для общего числа уровней квантования, равного .

Кодовым расстоянием Хэмминга между двумя двоичными кодовыми комбинациями и называют суммарный эффект от позиционного суммирования по модулю два кодовых символов сравниваемых кодовых комбинаций:

, ,

(24)

где - арифметическая сумма; - суммирование по модулю два: .

Таблица кодовых расстояний строится на основе (24). Причем - номер строки, а - номер столбца этой таблицы. Так как она симметрична относительно главной диагонали, где , то целесообразно выписать ее элементы выше главной диагонали.

Для вычисления вероятностей и появление нуля и единицы в сигнале ИКМ (см. рис. 2 д) обратимся к рис. 2 в. Слева показаны вероятности , появление кодовых комбинаций, а справа сами кодовые комбинации . Распределение вероятностей относительно нулевого уровня симметрично. Число единиц и нулей в кодовых комбинациях , соответствующих этим вероятностям, также симметрично.

Так как среднее число нулей и среднее число единиц в сигнале ИКМ одинаково (это справедливо для гауссовского сообщения и данного способа кодирования), то и вероятности их появления одинаковы: = =0.5.

Ширина спектра сигнала ИКМ находится из следующих сообщений. На интервале дискретизации при блочном безизбыточном кодировании по правилу (23) должно уместиться элементарных кодовых символов. Следовательно, их длительность равна (см. рис. 2 д). Но ширина спектра элементарного прямоугольного импульса обратно пропорциональна .

Таким образом, ширина спектра сигнала ИКМ

,

(25)

где - постоянная, выбираемая в пределах от 1.5 до 2. рекомендуется выбрать =1.667.