Трансляционная симметрия

Основное свойство кристалла – периодичность. Идеальный кристалл – это тело, состоящее из атомов, расположенных в пространственной решетке так, что можно ввести три вектора основных трансляций , обладающих следующим свойством: при рассмотрении этой атомной решетки из произвольной точки решетка имеет тот же вид, что и при рассмотрении из точки .

, n₁, n₂, n₃ – целые числа.

– вектор трансляции.

Операцию перемещения кристалла как целого параллельно самому себе, описываемую вектором , называем трансляцией. Вектор трансляции связывает любые две точки кристалла.

Поскольку периодичность – основное свойство кристалла, то элементы симметрии кристалла должны сочетаться с периодичностью, т. е. элементы симметрии в кристалле должны сочетаться с трансляцией.

, где . ( – целые числа, другие нежели n₁, n₂, n₃).

Рассмотрим сочетание элементов симметрии с трансляцией на примере преобразования поворота относительно оси симметрии на угол a.

;

.

Тогда можно записать

,

так как матрицы равны, если равны их следы, т. е. суммы диагональных членов.

Примем , ;

;

– целые числа, следовательно, , где N – целое число.

; ; .

Из этого уравнения получим набор элементарных углов поворота, которые могут существовать в кристалле.

;

Х® 1, 2, 3, 6, 4.

Оси симметрии такого и только такого порядка могут встречаться в кристаллических системах.

При описании структуры кристалла необходимо определить кристаллическую решетку, выбрать оси координат, базис и набор операций симметрии, с помощью которого осуществляется трансляция кристаллической структуры.