Поворотная ось или ось симметрии

Ось симметрии – это геометрический образ симметричного преобразования – поворота на элементарный угол. Это воображаемая ось, вокруг которой совершается поворот. Порядок оси симметрии «n»показывает, сколько раз фигура совместится сама с собой при полном обороте вокруг этой оси. Элементарный угол поворота – это угол, на который необходимо повернуть кристалл, чтобы его идентичные точки совместились (рис. 6). Преобразование поворота считается заданным, если задано положение поворотной оси и значение элементарного угла. Элементарный угол и порядок оси симметрии связаны простым соотношением

.

При использовании интернациональной символики порядок оси обозначается «n» или «Х», где для кристаллических структур Х = 1, 2, 3, 4, 6, т. е. в кристаллах существуют оси такого и только такого порядка. Обозначение по Шенфлису порядка оси – «С_n».

Преобразования пространственной симметрии, производимые над кристаллом любой структуры, относятся, в конечном счете, к прямоугольным координатам, определяющим примитивные векторы решетки, т. е. к прямоугольной системе координат. Поэтому каждый элемент симметрии удобно представить в виде матрицы третьего порядка, которая заданным образом преобразует прямоугольные координаты каждой точки решетки.

Под преобразованием осей координат мы будем понимать переход от одной системы взаимно ортогональных осей координат к другой с тем же началом координат. Масштабные отрезки вдоль каждой из осей всегда остаются неизменными. Обозначим первоначальную систему координат через х₁, х₂, х₃ и новую систему через х₁^/, х₂^/, х₃^/. Углы между новыми и старыми осями определяются таблицей направляющих косинусов.

старые оси
новые оси		х1	х2	х3
х1/	а11	а12	а13
х2/	а21	а22	а23
х3/.	а31	а32	а33.

Матрицу операции поворота вокруг оси Z можно представить в виде

.

Преобразование поворота задано, если известно положение поворотной оси и значение элементарного угла a. Отсчет угла идет от новых осей к старым в сторону, противоположную повороту.

Если направление оси симметрии не совпадает ни с одной из осей координат, необходимо, прежде всего, определить положение этой оси относительно системы координат.

b

Пусть ось расположена вдоль объемной диагонали куба и является осью симметрии третьего порядка (рис. 7). Сначала совершим поворот на угол a относительно оси z. Соотношение между новой системой координат (х^/, y^/, z^/) и старой координатной системой определяется формулой

.

Относительное расположение координатных осей изображено на рис. 8,а.

Повернем теперь координатную систему на угол b вокруг оси y^/ в направлении правого винта, как показано на рис. 8,б.

Рис. 8. Относительное расположение координатных осей

Матрица представления этого поворота имеет вид

.

Следовательно, конечные координаты получаются из начальных с помощью матрицы R, равной произведению двух матриц

.

Для оси С₃ a = 45⁰, cosb = .

Теперь кристалл можем повернуть на угол g вокруг оси z^//. Этот поворот описывается матрицей S

.

Поворот на угол g вокруг оси z^// относится к преобразованиям симметрии данной решетки. Если теперь подействовать матрицей R^-1, координатная система будет возвращена в первоначальное положение.

Поскольку преобразование, описываемое матрицей R, есть ортогональное преобразование, обратная матрица R^-1 представляет собой просто транспонированную матрицу . (Транспонирование сводится к повороту вокруг главной диагонали, т. е. строки и столбцы меняются местами.)

Матрица, описывающая поворот вокруг любой из осей, может быть представлена следующим выражением:

.

Для оси С₃ .