Метод трапеций

Выведем формулу трапеций так же, как и формулу прямоугольников, из геометрических соображений. Заменим график функции y = f (x) (рис.5.1) ломаной линией (рис.5.7), полученной следующим образом. Из точек a = x ₀, x ₁, x ₂ ,…, x_n = b проведем ординаты до пересечения с кривой y = f (x). Концы ординат соединим прямолинейными отрезками.

Рис. 5.7

Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно можно считать равной площади фигуры, составленной из трапеций. Так как площадь трапеции, построенной на отрезке [ x_i, x_{i+ 1}] длины h =, равна h, то, пользуясь этой формулой для i = 0, 2, …, n - 1, получим квадратурную формулу трапеций:

I=I _тр = h= (5.7)

Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы трапеций воспользуемся следующей теоремой.

Теорема 5.2. Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [ a, b ]. Тогда для формулы трапеций справедлива следующая оценка погрешности:

| I - I _тр | h ², (5.8)

где M ₂ = | f "(x)|.

Пример 5.2.

Вычислим значение интеграла по формуле трапеций (5.7) и сравним полученный результат с результатом примера 5.1.

Используя таблицу значений функции e из примера 5.1 и производя вычисления по формуле трапеций (5.7), получим: I _тр = 0.74621079.

Оценим погрешность полученного значения. В примере (5.1) получили оценку: | f "(x)| M ₂ = 2. Поэтому по формуле (5.8)

I - I _тр | (0.1)² 1.7 10^-3.

Сравнивая результаты примеров 5.1 и 5.2, видим, что метод средних прямоугольников имеет меньшую погрешность, т.е. он более точный.