Приближение функции многочленами Тейлора

Пусть функция y = f (x)определена в окрестности точки a и имеет в этой окрестности n + 1 производную. Тогда в этой окрестности справедлива формула Тейлора:

f (x)= c ₀ + c ₁(x - a) + c ₂(x - a)² + … + c_n (x - a) ⁿ + R_n (x) = T_n (x) + R_n (x),

где

c_k =

T_n (x) - многочлен Тейлора:

T_n (x) = c ₀ + c ₁(x - a) + c ₂(x - a)² + … + c_n (x - a) ⁿ, (4.1)

R_n (x) - остаточный член формулы Тейлора. Его можно записать различными способами, например, в форме Лагранжа:

R_n (x) =, a x.

Многочлен Тейлора (4.1) обладает свойством, что в точке x = a все его производные до порядка n включительно совпадают с соответствующими производными функции f, т. е.

T (a) = f ^(k)(a), k = 0, 1, …, n.

В этом легко убедиться, дифференцируя T_n (x). Благодаря этому свойству многочлен Тейлора хорошо приближает функцию f в окрестности точки a. Погрешность приближения составляет

| f (x) - T_n (x)| = | R_n (x)|,

т. е. задавая некоторую точность > 0, можно определить окрестность точки a и значение n из условия:

| R_n (x)| = <. (4.2)

Пример 4.1.

Найдем приближение функции y = sinx многочленом Тейлора в окрестности точки a = 0. Воспользуемся известным выражением для k -ой производной функции sinx:

(sinx)^(k) = sin x + k (4.3)

Применяя последовательно формулу (4.3), получим:

f (0) = sin 0 = 0;

f (0) = cos (0) = 1;

f" (0) = - sin 0 = 0;

f ^{(2 k- 1)}(0) = sin (2 k - 1) = (-1) ^{k - 1};

f ^{(2 k)}(0) = 0;

f ^{(2 k+ 1)}() = (-1) ^kcos.

Следовательно, многочлен Тейлора для функции y = sinx для n = 2 k имеет вид:

sinx = x - + … + (-1) ^{k - 1} + R _{2 k} (x),

R _{2 k} (x) = (-1) ^k .

Зададим = 10 ^-4 и отрезок [-, ]. Определим n = 2 k из неравенства:

| R _{2 k} (x)| = < < < = 10^-4.

Таким образом, на отрезке -, функция y = sinx с точностью до = 10^-4 равна многочлену 5-ой степени:

sinx = x - + = x - 0.1667 x ³ + 0.0083 x ⁵.

Пример 4.2.

Найдем приближение функции y = e^x многочленом Тейлора на отрезке [0, 1] с точностью = 10 ^-5.

Выберем a =?, т. е в середине отрезка. При этом величина погрешности в левой части (4.2) принимает минимальное значение. Из математического анализа известно, что для k -ой производной от e^x справедливо равенство:

(e^x)^(k) = e^x.

Поэтому

(e^a)^(k) = e^a = e ^{1 / 2},

Следовательно, многочлен Тейлора для функции y = e^x имеет вид:

e^x = e ^{1 / 2 +} e ^{1 / 2}(x -?) + (x -?)² + … + (x -?)ⁿ + R_n (x),

При этом, учитывая, что x [0, 1], получим оценку погрешности:

| R_n (x)| <. (4.4)

Составим таблицу погрешностей, вычисленных по формуле (4.4):

n
Rn	0.057	0.0071	0.00071	0.000059	0.0000043

Таким образом, следует взять n = 6.