Метод Эйлера

Простейшим методом решения задачи Коши является метод Эйлера.

Будем решать задачу Коши

y (t) = f (t, y (t)).

y (t ₀ ) = y ₀,

на отрезке [ t ₀, T ]. Выберем шаг h =, и построим сетку с системой узлов

t_i = t ₀ + ih, i = 0, 1, …, n.

В методе Эйлера вычисляются приближенные значения функции y (t) в узлах сетки: y_i y (t_i).

Заменив производную y (t) конечными разностями на отрезках [ t_i, t_i+1 ], i = 0, 1, …, n - 1, получим приближенное равенство:

= f (t_i, y_i), i = 0, 1, …, n - 1,

которое можно переписать так:

y_{i+ 1} = y_i + h f (t_i, y_i), i = 0, 1, …, n - 1. (6.3)

Формулы (6.3) и начальное условие (6.2) являются расчетными формулами метода Эйлера.

Геометрическая интерпретация одного шага метода Эйлера заключается в том, что решение на отрезке [ t_i, t_i+1 ] заменяется касательной y = y (t_i)(t - t_i), проведенной в точке (t_i, y (t_i)) к интегральной кривой, проходящей через эту точку. После выполнения n шагов неизвестная интегральная кривая заменяется ломаной линией (ломаной Эйлера).

Оценка погрешности. Для оценки погрешности метода Эйлера воспользуемся следующей теоремой.

Теорема 6.2. Пусть функция f удовлетворяет условиям:

K, = L. (6.4)

Тогда для метода Эйлера справедлива следующая оценка погрешности:

R = | y (t_i) - y_i | =,

где l - длина отрезка [ t ₀, T ]. Мы видим, что метод Эйлера имеет первый порядок точности.

Оценка погрешности метода Эйлера часто бывает затруднительна, так как требует вычисления производных функции f (t, y (t)). Грубую оценку погрешности дает правило Рунге (правило двойного пересчета), которое используется для различных одношаговых методов, имеющих p -ый порядок точности. Правило Рунге заключается в следующем. Пусть y - приближения, полученные с шагом, а y - приближения, полученные с шагом h. Тогда справедливо приближенное равенство:

| y- y (t_i)| | y- y |. (6.5)

Таким образом, чтобы оценить погрешность одношагового метода с шагом, нужно найти то же решение с шагом h и вычислить величину, стоящую справа в формуле (6.5), т е.

R | y- y | (6.6)

Так как метод Эйлера имеет первый порядок точности, т. е. p = 1, то приближенное равенство (6.6) примет вид

R | y- y | (6.7)

Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши с заданной точностью. Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага h, последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение y, i = 0, 1, …, n. Вычисления прекращаются тогда, когда будет выполнено условие:

R | y- y | <. (6.8)

Для метода Эйлера условие (6.8) примет вид

R | y- y | < (6.9)

Приближенным решением будут значения y, i = 0, 1, …, n.

Пример 6.1.

Найдем решение на отрезке [0, 1] следующей задачи Коши:

y (t) = y -, (6.10)

y (0) = 1.

Возьмем шаг h = 0.2. Тогда n = = 5.

В соответствии с (6.3) получим расчетную формулу метода Эйлера:

y_{i+ 1} = y_i + 0.2, y ₀ = 1, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Решение представим в виде таблицы 6.1:

Таблица 6.1

i
ti		0.2	0.4	0.6	0.8	1.0
yi	1.0000	1.2000	1.3733	1.5294	1. 6786	1.8237

Уравнение (6.10) есть уравнение Бернулли. Его решение можно найти в явном виде:

y =. (6.11)

Для сравнения точного и приближенного решений представим точное решение (6.11) в виде таблицы 6.2:

Таблица 6.2

i
ti		0.2	0.4	0.6	0.8	1.0
y (ti)	1.0000	1.1832	1.3416	1.4832	1. 6124	1.7320

Из таблицы видно, что погрешность составляет R = | y (t_i) - y_i | = 0.0917.