Интерполяция функции многочленами Лагранжа

Рассмотрим другой подход к приближению функции многочленами. Пусть функция y = f (x)определена на отрезке [ a, b ] и известны значения этой функции в некоторой системе узлов x_i [ a, b ], i = 0, 1, …, n. Например, эти значения получены в эксперименте при наблюдении некоторой величины в определенных точках или в определенные моменты времени x ₀, x ₁, …, x_n. Обозначим эти значения следующим образом: y_i = f (x_i), i = 0, 1, …, n. Требуется найти такой многочлен P (x) степени m,

P (x) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + … + a_mx^m, (4.5)

который бы в узлах x_i, i = 0, 1, …, n принимал те же значения, что и исходная функция y = f (x), т. е.

P (x_i) = y_i, i = 0, 1, …, n. (4.6)

Многочлен (4.5), удовлетворяющий условию (4.6), называется интерполяционным многочленом.

Другими словами, ставится задача построения функции y = P (x), график которой проходит через заданные точки (x_i, y_i), i = 0, 1, …, n (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Объединяя (4.5) и (4.6), получим:

a ₀ + a ₁ x_i + a ₂ x + … + a_mx = y_i, i = 0, 1, …, n. (4.7)

В искомом многочлене P (x) неизвестными являются m +1 коэффициент a ₀ , a ₁, a ₂, …, a_m. Поэтому систему (4.7) можно рассматривать как систему из n +1 уравнений с m +1 неизвестными. Известно, что для существования единственного решения такой системы необходимо, чтобы выполнялось условие: m = n. Таким образом, систему (4.7) можно переписать в развернутом виде:

a ₀ + a ₁ x ₀ + a ₂ x + … + a_nx = y ₀

a ₀ + a ₁ x ₁ + a ₂ x + … + a_nx = y ₁

a ₀ + a ₁ x ₂ + a ₂ x + … + a_nx = y ₂(4.8)

.

a ₀ + a ₁ x_n + a ₂ x + … + a_nx = y_n

Вопрос о существовании и единственности интерполяционного многочлена решает следующая теорема:

Теорема 4.1. Существует единственный интерполяционный многочлен степени n, удовлетворяющий условиям (4.6).

Имеются различные формы записи интерполяционного многочлена. Широко распространенной формой записи является многочлен Лагранжа

L_n (x) = =. (4.9)

В частности, для линейной и квадратичной интерполяции по Лагранжу получим следующие интерполяционные многочлены:

L ₁(x) = y ₀+ y _1,

L ₂(x) = y ₀+ y ₁+ y ₂.

Пример 4.3.

Построим интерполяционный многочлен Лагранжа по следующим данным:

x
y

Степень многочлена Лагранжа для n +1 узла равна n. Для нашего примера многочлен Лагранжа имеет третью степень. В соответствии с (4.9)

L ₃(x) = 1+3 + 2 + 5 = 1 + x - x ² + x ³.

Пример 4.4.

Рассмотрим пример использования интерполяционного многочлена Лагранжа для вычисления значения заданной функции в промежуточной точке. Эта задача возникает, например, когда заданы табличные значения функции с крупным шагом, а требуется составить таблицу значений с маленьким шагом.

Для функции y = sinx известны следующие данные.

x		/6	/3	/2
y		?

Вычислим y (0.25).

Найдем многочлен Лагранжа третьей степени:

L ₃(x) = 0 + +

+ 1.

При x = 0.25 получим y (0.25) = sin 0.25 0.249.

Погрешность интерполяции. Пусть интерполяционный многочлен Лагранжа построен для известной функции f (x). Необходимо выяснить, насколько этот многочлен близок к функции в точках отрезка [ a, b ], отличных от узлов. Погрешность интерполяции равна | f (x) - P_n (x)|. Оценку погрешности можно получить на основании следующей теоремы.

Теорема 4.2. Пусть функция f (x)дифференцируема n + 1 раз на отрезке [ a, b ], содержащем узлы интерполяции x_i [ a, b ], i = 0, 1, …, n. Тогда для погрешности интерполяции в точке x [ a, b ] справедлива оценка:

| f (x) - L_n (x)| | _{n+ 1}(x)|, (4.10)

где

M_{n+ 1}= | f ^{(n+ 1)}(x)|,

_{n+ 1}(x) = (x - x ₀)(x - x ₁) …. (x - x_n).

Для максимальной погрешности интерполяции на всем отрезке [ a, b ] справедлива оценка:

| f (x) - L_n (x)| | _n (x)| (4.11)

Пример 4.5.

Оценим погрешность приближения функции f (x) = в точке x = 116 и на всем отрезке [ a, b ], где a = 100, b = 144, с помощью интерполяционного много члена Лагранжа L ₂(x) второй степени, построенного с узлами x ₀ = 100, x ₂ = 144.

Найдем первую, вторую и третью производные функции f (x):

f (x) = x - ^1/2, f "(x) = - x -^3/2, f (x) = x -^5/2.

M ₃= | f (x)| = 100 -^5/2 = 10 -⁵.

В соответствии с (4.9) получим оценку погрешности в точке x = 116:

| - L ₂(116)| |(116 - 100)(116 - 121)(116 - 144)| = 10 -⁵16528 = 1.410 ^{- 3}.

Оценим погрешность приближения функции f (x) = на всем отрезке в соответствии с (4.11):

| - L ₂(x)| |(x - 100)(x - 121)(x -144)| 2.510-³.