Метод исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу

Хотя метод Гаусса является точным методом, ошибки округления могут привести к существенным погрешностям результата. Кроме того исключение по формулам (3.7) нельзя проводить, если элемент главной диагонали a равен нулю. Если элемент a мал, то велики ошибки округления при делении на этот элемент. Для уменьшения ошибок округления применяют метод исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу. Прямой ход так же, как и для схемы единственного деления, состоит из n - 1 шагов. На первом шаге прежде, чем исключать переменную x ₁, уравнения переставляются так, чтобы в левом верхнем углу был наибольший по модулю коэффициент a_{i 1}, i = 1, 2, …, n. В дальнейшем, на k -м шаге, прежде, чем исключать переменную x_k, уравнения переставляются так, чтобы в левом верхнем углу был наибольший по модулю коэффициент a_ik, i = k, k + 1, …, n. После этой перестановки исключение переменной x_k производят, как в схеме единственного деления.

Трудоемкость метода. Дополнительные действия по выбору главных элементов требуют примерно n ² операций, что практически не влияет на общую трудоемкость метода.

Пример 3.2.

Применим метод исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу для решения системы уравнений (3.10) из примера 3.1. Прямой ход. 1-ый шаг. Так как коэффициент a ₁₁ = 2.0 наибольший из коэффициентов первого столбца, перестановки строк не требуется и 1-ый шаг полностью совпадает с 1-ым шагом примера 3.1. Из второго, третьего и четвертого уравнений исключается переменная x ₁ и система приводится к виду (3.11).

2-ой шаг. Наибольший по модулю коэффициент при x ₂ в системе (3.11) a = -1.15. Поэтому переставим уравнения следующим образом:

2.0 x ₁ + 1.0 x ₂- 0.1 x ₃ + 1.0 x ₄ = 2.7

-1.15 x ₂ + 1.015 x ₃ + 5.05 x ₄ = -4.305 (3.14)

0.3 x ₂ + 4.02 x ₃- 8.70 x ₄ = 21.36

-0.30 x ₂ + 2.55 x ₃-1.50 x ₄ = 8.55

Вычислим множители:

m = = = -0.26087 m = = = 0.26087.

Вычитая из третьего и четвертого уравнений системы (3.14) второе уравнение, умноженное соответственно на m и m, приходим к системе:

2.0 x ₁ + 1.0 x ₂- 0.1 x ₃ + 1.0 x ₄ = 2.7

-1.15 x ₂ + 1.015 x ₃ + 5.05 x ₄ = -4.305 (3.15)

4.28478 x ₃- 7.38261 x ₄ = 20.23696

2.28522 x ₃-2.81739 x ₄ = 9.67305

3-ий шаг. Вычислим множитель:

m = = = 0.53333.

Вычитая из четвертого уравнения системы (3.15) третье, умноженное на m, приведем систему к треугольному виду:

2.0 x ₁ + 1.0 x ₂- 0.1 x ₃ + 1.0 x ₄ = 2.7

-1.15 x ₂ + 1.015 x ₃ + 5.05 x ₄ = -4.305 (3.16)

4.28478 x ₃- 7.38261 x ₄ = 20.23696

1.11998 x ₄ = -1.11998

Обратный ход. Обратный ход полностью совпадает с обратным ходом примера 3.1. Решение системы имеет вид:

x ₁= 1.000, x ₂ = 2.000, x ₃= 3.000, x ₄ = - 1.000.