Изменение моментов инерции плоской фигуры при повороте осей

Даны моменты инерции некоторого сечения относительно осей x и y. Требуется определить J_u, J_v, J_uv - моменты инерции относительно осей u,v, повернутых на угол а. Так проекция ОАВС равна проекции замыкающей:

u=y sin а + x cos a (1)

v=y cos a – x sin a (2)

Исключим u,v в выражениях моментов инерции:

J_u = ∫ v²dF; J_v= ∫ u²dF; J_uv= ∫ uvdF. Подставив в выражения (1) и (2) получим:

J_u=J_xcos²a – J_xysin 2a + J_y sin² a

J_v=J_xsin²a + J_xysin 2a + J_y cos² a (3)

J_uv=J_xycos2a + sin 2a(J_x-J_y)/2

J_u +J_v=J_x +J_y= ∫ _F(y²+x²)dF => Сумма осевых моментов инерции относительно 2х взаимно перпенд. Осей не зависит от угла а. Заметим, что x²+y²=p². p- расстояние от начала координат до элементарной площадки. Т.о. J_x +J_y=J_p. (4)

J_p=∫_F p²dF – полярный момент, не зависит от поворота х,у

2) Закон Гука при одноосном напряженном состоянии. Связь между продольной и поперечной деформациями.

Закон Гука – в определенных диапазонах перемещения точек тела пропорциональны действующим на него нагрузкам.

В соответствии с этим законом перемещение произвольно взя­той точки А нагруженного тела по некоторому направ­лению, например, по оси x, может быть выражено следующим образом: u = dx P,

где Р - сила, под действием которой происходит перемещение u; dx×- коэффициент пропорциональности между силой и перемещением.

Деформация в растянутом стержне. Его удлинение в продольном направлении сопровождается пропорциональным уменьшением попереч­ных размеров стержня Если обозначить:

e_прод = ; e_попер = , ,