Уравнение диффузии с учетом замедления

Обозначим

Ф(r, u) - сумма путей, проходимых нейтронами с летаргией в единичном интервале вблизи летаргии u и в единице объема вблизи r за единицу времени;

q(r, u) - плотность замедления, т.e. число нейтронов, пересекающих значение летаргии u в единицу времени единице объема вблизи r;

Из всех нейтронов в dV выбираем только те нейтроны, которые имеют летаргию в интервале от u до u+du. Считаем, что S_а и источники нейтронов в интервале du отсутствуют.

Элемент объема

Рис.13.2.1.

Рассмотрим q(r, u) в dV. В общем случае (в случае утечки)

Изменение числа нейтронов в единице объема при замедлении от u до u+du равно числу утекших нейтронов:

Разделив это уравнение на du, получим

Рис.13.2.2.

При непрерывном замещении за время dt значение летаргии u пересекут qdt нейтронов. Все они окажутся в интервале от u до du. Тогда имеем

С другой стороны, нейтроны должны оказаться в интервале летаргии du, таком что du соответствует dt.

Отсюда

это давление для замедляющих нейтронов, т.е. уравнение диффузии или теплопроводности. Э. Ферми считал, что это уравнение должно полностью совпадать с уравнением теплопроводности, где коэффициент перед не зависит от u.

Вводят возраст dt, причем

тогда в новых переменных

Последнее уравнение представляет собой уравнение теплопроводности в чистом виде и называется уравнением возраста (τ - возраст).

Из определения dt имеем

Если перейти от переменной u к переменной времени, тогда

где t - время, отсчитываемое с момента рождения нейтрона.