Глава 10 Точечный источник в бесконечной среде

Пусть имеется бесконечная, однородная, изотропная среда, в которой находится точечный изотропный источник. Очевидно, такая задача имеет сферическую симметрию.

Сферическая симметрия

Рис. 10.1.1.

Начало сферической системы координат совместим с точкой, где находится источник. Тогда поток Ф не будет зависеть от углов θ и φ. В связи с этим лапласиан можно записать в следующем виде

.

Уравнение диффузии имеет вид

.

Если рассматривать точки r ≠ 0, то источник можно опустить (S = 0), так как он находится только в точке r = 0. Тогда имеем

,

где характеризует интенсивность спада потока Ф в зависимости от расстояния r. Граничным условие является то, что поток во всех точках должен быть конечным и неотрицательным, кроме точки с источником.

Если рассмотрим сферу с источником в центре, то количество нейтронов, проходящих через эту сферу, будет стремиться к мощности источника при стремлении радиуса сферы к нулю, то есть

.

Решение этого уравнения будем искать в виде

.

Тогда для U получим уравнение

,

решением которого будет следующая запись

.

С учётом этого можно записать решение уравнения для потока Ф от расстояния r

.

Из условия конечности потока Ф при r → ∞ получаем, что постоянная C = 0. Найдем вторую постоянную A.

A=Q/4pD

Итак

здесь Ф (r) -поток для точечного источника.

Зависимость Ф(r) для

Рис. 10.1.2.

Пусть Q=1, среда – Н₂О.

χ – характерная величина, на которой поток спадает в е раз (без учёта знаменателя).