Елементи теорії множин

Множина – це об’єднання об’єктів в єдине ціле. Множина визначена, коли ми можемо вирішити - будь-який даний об’єкт є її членом чи ні.

Для позначення конкретних множин використовують різні прописні літери A, S, X,… або прописні літери з індексами , і т.і. Для позначення елементів множин в загальному вигляді використовують різні малі літери з індексами , і т.і.

В теорії множин використовується поняття „порожньої множини”. Позначається вона символом Æ.

Розглянемо дві множини та , та введемо декілька операцій над ними. Для графічної ілюстрації будемо використовувати так звані кола Ейлера. Також будемо використовувати знаки логічних операцій: кон’юнкції «», дизъюнкції «», імплікації «», тотожності «».

1. Об’єднання А та В () – це множина, яка містить усі елементи множини А, усі елементи множини В та не включає ніяких інших елементів, тобто

(«» - логічна операція диз’юнкції (логічне «або»)

2. Пересічення А и В – це множина, яка містить ті і тільки ті елементи, які належать одночасно до множини А та до множини В, тобто

де знак «» позначає логічну операцію кон’юнкції (логічне «і»).

3. Різниця А та В (відносне доповнення) – це множина, яка містить ті і тільки ті елементи, які належать А, та не належать В, тобто

4. Диз’юнктивна сума А та В (або симетрична різниця) – це множина, яка містить усі елементи множини А, що не належать В, та всі елементи множини В, що не належать множині А, та не містять ніяких інших елементів, тобто ,

Де - символ операції диз’юнктивної суми двох множин.

Цілком природно, що

Зручно сукупність допустимих об’єктів зафіксувати явним чином та вважати, що множини, які розглядаються, складаються з елементів цієї сукупності. Її називають основною множиною (універсумом) та позначають U. Універсум U арифметикі – числа, універсум U зоології – тварини.

Будь-яку множину будемо розглядати в зв’язку з універсумом, який з допомогою кол Ейлєра будемо асоціювати з прямокутником на площині, всередені якого будемо зображати множини:

U

Нова операція (абсолютне доповнення) – це множина, яка містить усі елементи універсуму, за винятком елементів множини А.