Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Векторы и координаты



1) векторы на плоскости:

скалярное произведение:

признак коллинеарности: или

признак перпендикулярности: x1∙x2 + y1∙y2 = 0;

2) векторы в пространстве:

скалярное произведение:

признак коллинеарности: или

признак перпендикулярности: x1∙x2 + y1∙y2 + z1∙z2 = 0;

признак компланарности трёх векторов:

x1 y1 z1

x2 y2 z2 = 0;

x3 y3 z3

векторное произведение двух векторов:

i j k

= x1 y1 z1; = Sпараллелограмма = 2∙SΔ;

x2 y2 z2

смешанное произведение трёх векторов:

x1 y1 z1

= = x2 y2 z2;

x3 y3 z3

объём параллелепипеда: Vпарал = │ │;

объём пирамиды: Vпирам = Vпарал = │;

3) аналитическая геометрия на плоскости:

расстояние между двумя точками M1(x1 ; y1) и M2(x2 ; y2)

;

уравнение прямой, проходящей через две точки M1(x1; y1) и M2(x2; y2)

;

деление отрезка M1M2 в данном отношении λ

координаты середины отрезка (M1M = MM2, т.е. λ = 1)

уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0; y0) перпендикулярно

вектору ()

A∙(x – x0) + B∙(y – y0) = 0;

уравнение прямой с угловым коэффициентом k и проходящей через

точку M0(x0; y0)

y – y0 = k∙(x – x0);

острый угол между двумя прямыми y = k1∙x + b1 и y = k2∙x + b2

условие параллельности двух прямых: k1 = k2;

условие перпендикулярности двух прямых: k1∙k2 = −1;

расстояние от точки M0(x0; y0) до прямой A∙x + B∙y + C = 0

площадь треугольника с вершинами A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3)

или в другом виде то же самое

x1 y1 1

SABC = , где D = x2 y2 1;

x3 y3 1

уравнение окружности радиуса R

(x – a)2 + (y – b)2 = R2; центр в точке A(a; b)

x2 + y2 = R2; центр в точке O(0; 0)

4) аналитическая геометрия в пространстве:

расстояние между двумя точками M1(x1; y1; z1) и M2(x2; y2; z2)

;

уравнение прямой в каноническом виде, проходящей через две точки

M1(x1; y1; z1) и M2(x2; y2; z2)

;

деление отрезка M1M2 в данном отношении λ

координаты середины отрезка (M1M = MM2, т.е. λ = 1)

уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0; y0; z0)

перпендикулярно вектору

()

A∙(x – x0) + B∙(y – y0) + C∙(z – z0) = 0;

расстояние от точки M0(x0; y0; z0) до плоскости A∙x + B∙y + C∙z + D = 0

уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

M1(x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2), M3(x3; y3; z3):

x – x1 y – y1 z – z1

x2 – x1 y2 – y1 z2 – z1 = 0;

x3 – x1 y3 – y1 z3 – z1

уравнение сферы радиуса R

(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2; центр в точке A(a; b; c)

x2 + y2 + z2 = R2; центр в точке O(0; 0; 0)

Разное

1. Формулы сокращённого умножения:

(a + b)2 = a2 + 2∙a∙b + b2;

(a − b)2 = a2 − 2∙a∙b + b2;

a2 − b2 = (a − b)∙(a + b);

(a + b)3 = a3 + 3∙a2∙b + 3∙a∙b2 + b3 = a3 + b3 + 3∙a∙b∙(a + b);

(a − b)3 = a3 − 3∙a2∙b + 3∙a∙b2 − b3 = a3 − b3 − 3∙a∙b∙(a − b);

a3 + b3 = (a + b)∙(a2 − a∙b + b2);

a3 − b3 = (a − b)∙(a2 + a∙b + b2);

2. Арифметическая прогрессия

3. Геометрическая прогрессия

убывающая геометрическая прогрессия:

4. Наименьшие положительные периоды

y = A∙sin(a∙x + b);

y = A∙cos(a∙x + b);

y = A∙tg(a∙x + b);

y = A∙ctg(a∙x + b);

y = {x};

5. Теоремы о периодических функциях:

1) Если несколько периодических функций имеют один и тот же

период T, то сумма, произведение и частное этих функций также

периодические с тем же периодом T.

2) Периодом суммы, произведения и частного нескольких

периодических функций будет наименьшее общее кратное

периодов отдельных функций.

В случае суммы полученный период будет наименьшим

положительным.

В случае произведения или частного полученный результат

будет положительным периодом, но не всегда наименьшим.

6. Теорема Виета для кубического уравнения

x3 + p∙x2 + q∙x + f = 0;

x1 + x2 + x3 = −p;

x1∙x2 + x1∙x3 + x2∙x3 = q;

x1∙x2∙x3 = −f;

7. Решение диофантовых уравнений a∙x + b∙y = c,

где a, b, c – известные целые числа; x, y – неизвестные целые числа;

1) если a, b, c имеют общий множитель, то на него надо сократить

обе части уравнения;

2) коэффициенты a и b должны быть взаимно простыми, так как в

противном случае уравнение не имеет целых решений;

(числа называются взаимно простыми, если они не имеют

общих делителей)

3) находим любое целочисленное решение данного уравнения

x = x0 и y = y0.

Тогда общие решения имеют вид:

x = x0 − b∙n;

y = y0 + a∙n;

где n Z, т.е. n – любое целое число;

8. Рациональные корни уравнения

Теорема: если рациональное число является корнем

алгебраического уравнения с целыми коэффициентами

a0∙xn + a1∙xn-1 + a2∙xn-2 + … + an-1∙x + an = 0, то

p является делителем свободного члена an;

q является делителем старшего коэффициента a0;

9. Схема Горнера

предназначена для деление многочлена на разность (x – a)

1) 3∙x4 − 2∙x3 + x – 4 на (x – 2) (a = 2)

  3 −2    
остаток R
−4

a
2

        30

умножаем слева направо и прибавляем сверху;

Вывод: 3∙x4 − 2∙x3 + x – 4 = (x – 2)∙(3∙x3 + 4∙x2 + 8∙x + 17) + 30;

2) 5∙x4 + 11∙x3 − 13∙x2 − 8∙x − 15 на (x + 3) (a = −3, т.к. x + 3 = x−(−3))

  5   −13 −8 −15
−3   −4 −1 −5  

Вывод: 5∙x4 + 11∙x3 − 13∙x2 − 8∙x – 15 = (x + 3)∙(5∙x3 − 4∙x2 – x − 5);

10. Разложение многочлена по степеням (x – a) при помощи

схемы Горнера

разложить P(x) = 5∙x4 − 3∙x2 + 4∙x + 2 по степеням (x + 2)

  5   −3    
−2   −10   −30  
−2   −20   −144  
−2   −30    
−2   −40  
−2    

Ответ: P(x) = 5∙(x + 2)4 − 40∙(x + 2)3 + 117∙(x + 2)2 − 144∙(x + 2) + 62;

11. Соединения и бином Ньютона

факториал n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙…∙ (n − 2)∙(n − 1)∙n;

размещения

перестановки

сочетания

во всех формулах n ≤ m;

Треугольник Паскаля (биномиальные коэффициенты)

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

и т. д.

12. Производные пропорции

Если , то:





Дата публикования: 2014-11-26; Прочитано: 179 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.022 с)...