Program Iter;

VAR

xp, e, x0, x:REAL;

Function f(x:real): real;

Begin

f:= x*x-2;

End;

Begin

writeln('введите начальное приближение х и точность');

Read(x0,e);

x:=x0;

REPEAT

xp:=x;

x:=f(x);

UNTIL ABS(x-xp)<e;

writeln('корень уравнения =', x);

End.

В данной программе используется подпрограмма функция f, которая вычисляет левую часть преобразованного уравнения:

^.

Переменная xp используется в программе для сохранения предыдущего значения х.

Численное решение нелинейных уравнений
методом бисекции

Метод сос­то­ит в по­стро­е­нии по­­­сле­­до­ва­тель­ности вло­жен­ных от­рез­ков, на кон­­цах ко­то­рых F(х) имеет разные зна­ки. Каж­дый по­­­сле­­ду­ю­щий от­ре­зок получают де­ле­ни­­ем по­по­лам пре­ды­ду­­ще­го. Этот процесс по­стро­е­ния по­­­сле­­до­­ва­тель­нос­ти вло­жен­ных отрезков по­зво­ляет най­­­ти нуль функ­ции (F(х) = 0) с лю­бой за­дан­ной точ­­­ностью.

Опишем подробно один шаг итерации (рис. 28). Пусть на k-м ша­ге найден отрезок [а_k, b_k], на концах ко­­то­рого F(х) меняет знак. Заметим, что обязательно [а_k, b_k] Î [а, b].

1. Разделим те­перь отрезок [а_k, b_k] пополам и вы­де­­лим F(c_k), где c_k – се­ре­ди­­на [а_k, b_k].

2. Здесь воз­мож­­ны два слу­чая:

§ первый, ког­да F(c_k) = 0, тогда мы го­ворим, что ко­рень найден;

§ вто­рой, ког­да F(c_k) ¹ 0, тог­да срав­­ниваем знак F(c_k) с F(а_k) и F(b_k) и из двух по­­ло­­вин [аk, c_k] и [c_k, bk] вы­бираем ту, на концах ко­то­рой функ­ция меняет свой знак. Та­ким образом, а_k+1 = а_k, b_k+1 = c_k, если F(c_k)F(а_k) < 0 (рис. 27), и а_k+1 = c_k, b_k+1 = b_k, ес­ли F(c_k)F(b_k) < 0.

При заданной точности e деление пополам про­­­­­­дол­жа­ют до тех пор, пока длина отрезка не ста­­­­­нет меньше 2e, тогда координата середины по­­след­­­­него най­­­денного от­резка и есть значение кор­­ня тре­бу­е­мой точ­ности.

Рисунок 28 – Геометрическая интерпретация решения уравнения методом бисекции
a) k–й шаг; b) k+1-й шаг.

Приведём программу, реализующую итерационный метод уточнения корня уравнения:

^.