Глава 2. Численные методы

Вычислительная математика — раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с производством вычислений и использованием компьютеров. В более узком понимании вычислительная математика — теория численных методов решения типовых математических задач.

К задачам вычислительной математики относят:

§ решение систем линейных уравнений;

§ нахождение собственных значений и векторов матрицы;

§ нахождение сингулярных значений и векторов матрицы;

§ решение нелинейных алгебраических уравнений;

§ решение систем нелинейных алгебраических уравнений;

§ решение дифференциальных уравнений (как обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравнений с частными производными);

§ решение систем дифференциальных уравнений;

§ решение интегральных уравнений;

§ задачи аппроксимации;

§ задачи интерполяции;

§ задачи экстраполяции.

Основное отличие вычислительной математики заключается в том, что при решении вычислительных задач человек оперирует машинными числами, которые являются дискретной проекцией вещественных чисел. Поэтому важную роль в вычислительной математике играют оценки точности получаемых результатов. Именно поэтому, например, для решения линейной системы алгебраических уравнений очень редко используется вычисление обратной матрицы, так как этот метод может привести к ошибочному решению в случае с сингулярной матрицей, а очень распространенный в линейной алгебре метод, основанный на вычислении определителя матрицы и ее дополнения, требует гораздо больше арифметических операций, чем любой устойчивый метод решения линейной системы уравнений.