Тема: Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и заменой переменной в определенном интеграле

6.1. Интеграл с переменным верхним пределом.

Пусть непрерывная функция на отрезке . Рассмотрим интеграл , где верхний предел . Верхний предел x и x под знаком интеграла разные и имеют разный смысл. Верхний предел x является произвольной фиксированной точкой отрезка , а x под знаком интеграла является переменной, которая изменяется от a до верхнего предела x. Интеграл называется интегралом с переменным верхним пределом, т.к. верхний предел x может принимать любое значение из отрезка . По условию непрерывна на любом отрезке , , то по теореме существования интеграл существует для любого , поэтому является функцией от x.

Далее покажем, что функция является дифференцируемой функцией.

Теорема. Если непрерывна на отрезке , то производная от интеграла с переменным верхним пределом равна подынтегральной функции, т.е. является первообразной для подынтегральной функции на ,

Доказательство.

По определению производной

где с расположено между и .

Последнее равенство имеет место в силу теоремы о среднем. Подставляя вместо полученное выражение, будем иметь

.

Точка с расположена между и , поэтому при . Так как непрерывна в точке x, то . ▼

6.2. Формула Ньютона-Лейбница.

Теорема. Справедлива формула , где Ф(x) какая-либо первообразная для подынтегральной функции .

Доказательство.

Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом . Этот интеграл является первообразной для функции . Пусть – произвольная другая первообразная для . Две различные первообразные для функции различаются на константу. Поэтому . Положим верхний предел , тогда получим: , отсюда , . В последнем интеграле вместо верхнего предела x подставим , тогда получим: . ▼

Пример. Вычислить

6.3. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Теорема. Справедлива формула .

Доказательство. Имеем: .

Почленно проинтегрируем последнее равенство

. ▼

Пример. Вычислить

.

Пример. Вычислить

;

;

К последнему интегралу применим еще раз формулу интегрирование по частям.

;

;

Пример. Вычислить

;

;

6.4. Замена переменной в определенном интеграле.

Пусть непрерывна на отрезке и , а функция непрерывна на отрезке .

Справедлива формула

.

Доказательство. Так как непрерывна на , то она на этом отрезке имеет первообразную, которую обозначим .

Функция является первообразной для функции на отрезке .

В самом деле, применяя правило дифференцирования сложной функции, получим: , где .

Используя формулу Ньютона-Лейбница, получим: . ▼

Пример. Вычислить

Сделаем замену

Если , то , если , то

Следовательно,