Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений

3.1. Интегрирование простейших рациональных дробей.

Выделим в числителе производную знаменателя

В подынтегральной функции в знаменателе выделим полный квадрат

Сначала в числителе выделим производную квадратного трехчлена

В последнем интеграле сделаем замену переменной

Нам остается вычислить интеграл

К последнему интегралу применим формулу интегрирования по частям

В результате получим

Итак, мы получили рекуррентную (возвратную) формулу

Применяя рекуррентную формулу вычисления интеграла можно свести к вычислению интеграла

Пример. Вычислить. . В данном интеграле

, где .

Для вычисления снова применим рекуррентную формулу, где .

Учитывая полученное, будем иметь:

Пример. Вычислить интеграл . Во-первых, отметим, что подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью, т.к. степень числителя больше степени знаменателя, поэтому поделим числитель на знаменатель и представим данную неправильную рациональную дробь в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

Итак, имеем:

Теперь остается вычислить интеграл от правильной рациональной дроби. Для этого подынтегральную правильную рациональную дробь представили в виде суммы простейших рациональных дробей

Учитывая полученный результат, будем иметь:

3.2. Интегрирование тригонометрических выражений.

Мы будем рассматривать

, где есть рациональная функция от и . Т.е. если положить , a , то есть отношение двух многочленов от .

Например:

Далее функция

не является рациональной функцией от и , т.к. входит под знак корня.

3.2.1. Универсальная подстановка.

Интеграл с помощью подстановки всегда сводится к интегралу от рациональной функции:

В результате получаем:

Пример. Вычислить интеграл , пользуясь указанной заменой переменной , , , получим:

Пример. Вычислить интеграл

3.2.2. Теперь предположим, что , т.е. подынтегральная функция нечетная относительно . В этом случае имеем:

В этом случае была сделана замена , и вычисление данного интеграла сводится к вычислению интеграла от рациональной функции.

Пример. Вычислить интеграл:

3.2.3. Пусть , т.е. подынтегральная функция нечетная относительно . В этом случае замена сводит вычисление к вычислению интеграла от рациональной функции.

3.2.4. Теперь рассмотрим тот случай, когда

, т.е. подынтегральная функция четная относительно и одновременно. В этом случае замена позволяет свести вычисление интеграла к вычислению интеграла от рациональной функции. В самом деле,

, т.к.

, то функция является четной относительно , поэтому и

.

В результате замены переменной получим:

Пример. Вычислить интеграл .

Подынтегральная функция является четной относительно и одновременно. Поэтому можно применить подстановку: , . Имеем:

В последнем интеграле подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, которую представим в виде суммы простейших рациональных дробей