Тема: Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Примеры интегралов, не выражающихся в элементарных функциях

4.1. Вычисление интегралов вида: , где , символ рациональности функции.

натуральные числа.

Пусть наименьшее общее кратное.

В данном интеграле сделаем замену

, тогда , где целое положительное число для любого , .

Далее имеем:

и

Сделав подстановку, получим:

Таким образом, вычисление данного интеграла с помощью указанной замены сводится к вычислению интеграла от рациональной функции.

Пример. Вычислить интеграл .

В данном интеграле сделаем замену:

В результате замены получим:

Неправильную рациональную дробь представим в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби, для этого поделим числитель на знаменатель:

Таким образом, имеем:

4.2. Вычисление интегралов вида:

Выражение означает следующее: если , то есть рациональная функция от .

Интегрирование данных выражений можно осуществить различными способами.

4.2.1. Интеграл после выделения полного квадрата под знаком квадратного корня и замены сводится к интегралу одного из следующего типов:

а)

б)

в)

В свою очередь, последние три интеграла соответствующей подстановкой

сводятся к интегралу вида:

Пример. Вычислить:

Выделяя полный квадрат в квадратном трехчлене x +2x+3, получим:

, где ,

Делая подстановку , получим:

Пример. Вычислить:

Делая подстановку , , , получим:

4.2.2. Подстановка Эйлера.

Интеграл , , может быть сведен к вычислению интеграла от рациональной функции с помощью подстановки , которая носит имя Эйлера, впервые применившего эту подстановку.

Пусть для определенности:

Возведем обе части последнего равенства в квадрат, в результате получим:

; ;

.

Используя данную подстановку, будем иметь:

,

т.к. рациональная функция от рациональной функции есть рациональная функция и произведение двух рациональных функций есть рациональная функция.

Пример. Вычислить:

При вычислении данного интеграла используем подстановку Эйлера, т.к. коэффициент при x больше 0.

; ; ;

; ;

.

Осуществляя подстановку, получим:

Пример. Вычислить:

Применим снова подстановку Эйлера:

,

(см. пример 25)

Далее имеем:

4.3. Примеры интегралов, не выражающихся в элементарных функциях:

.