Моменты инерции простых сечений

2.4.1 Прямоугольник

Определим момент инерции сечения относительно оси y₀, проходящей через центр тяжести прямоугольника высотой h и шириной b параллельно основанию (рис. 2.5). Выделим из прямоугольника линиями, параллельными оси y элементарную полоску высотой dz и шириной b. Площадь этой полоски dA=b×dz, расстояние от полоски до оси y равно z. Подставим эти величины в выражение момента инерции относительно оси y (2.6):

Рис. 2.5   Рис.4.3

y

z

z

dz

h

b

C

_.

. (2.18)

Аналогично, получим:

. (2.19)

Очевидно, что ,

.

2.4.2 Треугольник

Рис. 2.6

b

h

dz1

z1

y1

z1

b1

Определим момент инерции треугольника относительно оси у₁, проходящей через основание (рис.2.6)

.

Элементарная площадка . Из подобия треугольников получаем:

,

где b – основание треугольника, h – его высота.

Таким образом,

.

Расстояние от основания треугольника до центра тяжести равно , поэтому, используя правила переноса, находим момент инерции относительно центральной оси у, параллельной основанию

.

2.4.3 Круг

Определим сначала полярный момент инерции относительно центра круга (рис.2.7). За dA примем площадь бесконечно тонкого кольца толщиной dr, расположенного на расстоянии r от центра круга dA = 2prdr.

Тогда

Рис. 2.7

r

dr

R

z

y

(2.20)

Теперь определим осевые моменты инерции. Очевидно, что в силу симметрии ; но

.

Откуда . (2.21)

2.4.4 Кольцо

Определим моменты инерции кольца, у которого R - наружный радиус, r - внутренний радиус (рис. 2.8). Интегрируя полученное ранее выражение для полярного момента инерции в пределах от r до R, получим

Рис. 2.8

r

dr

R

r

z

y

Это выражение может быть представлено в виде

, (2.22)

где .

Соответственно

. (2.23)

Момент инерции сечения сложной формы относительно некоторой оси равен сумме моментов инерций его составных частей относительно той же оси:

, (2.24)

что непосредственно следует из свойств определенного интеграла.

Таким образом, для вычисления момента инерции сложной фигуры надо разбить ее на ряд простых фигур, вычислить моменты инерции этих фигур, а затем просуммировать их.

Нашей промышленностью выпускаются стандартные прокатные профили (двутавр, швеллер, уголок равнобокий, уголок неравнобокий), которые могут быть использованы как готовые элементы конструкций (балки, стойки, элементы ферм и т.д.). Размеры прокатных профилей стандартизированы и сведены в таблицы сортаментов прокатной стали, которые приводятся в приложениях почти всех учебников и сборников задач по сопротивлению материалов. В этих таблицах приводятся все размеры сечений и основные геометрические характеристики прокатных профилей в соответствии с их номером.

Вопросы для самопроверки

1. По каким формулам определяют осевые, центробежный и полярный момен-

ты инерции? Каковы их размерности?

2. Какие оси называют главными? Сколько главных осей может иметь плоская

фигура?

3. Какие оси называют главными центральными? Сколько таких осей может

иметь плоская фигура в общем случае?

4. Для каких фигур можно без вычислений установить положение главных

центральных осей?

5. Какова зависимость между осевыми моментами инерции при параллельном

переносе осей?

6. Какой из двух моментов инерции квадрата больше: относительно центральной оси, параллельной стороне квадрата, или относительно оси, совпадающей с диагональю?

7. Как определить момент инерции сложной фигуры, если ее можно разбить на простые части, для которых моменты инерции известны?

8. Какие моменты инерции всегда положительны?

ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ (СЖАТИЕ)

Лекция 3

Вопросы лекции:

1. Внутренние силы при растяжении.

2. Нормальные напряжения и условие прочности.

3. Механические испытания материалов при растяжении-сжатии.

4. Потенциальная энергия деформации.

3.1 Внутренние силы при растяжении

Под растяжением (сжатием) понимается такой вид деформации стержня, при котором в его поперечном сечении возникает лишь один внутренний силовой фактор – продольная сила N, а все остальные внутренние усилия равны нулю (рис. 3.1, а).

К конструкциям, работающим на центральное растяжение (сжатие), относятся: колонны, стойки, столбы, элементы ферм, элементы подкрановых конструкций (подвески), элементы строповки строительных конструкций и т.д.

Расчет и проектирование любой конструкции или ее элемента начинается с определения внутренних усилий, возникающих в ней под действием нагрузки. Продольная сила N в произвольном поперечном сечении определяется с помощью метода сечений: она численно равна алгебраической сумме проекций на продольную ось (Ох) стержня всех внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

F 1

F 2

l 2

l 1

а) б)

Рис. 3.1

Продольная сила считается положительной, если она вызывает растяжение стержня (направлена от рассматриваемого сечения), в противном случае она считается отрицательной (рис. 3.1, б).

3. 2 Нормальные напряжения и условие прочности

В общем случае в поперечных сечениях стержней могут возникать два вида напряжений: нормальные, направленные по нормали к сечению, и касательные, направленные в плоскости сечения. При центральном растяжении (сжатии) в поперечных сечениях стержней касательные напряжения равны нулю.

Продольная сила N приложена в центре тяжести поперечного сечения стержня и является равнодействующей нормальных напряжений

(3.1)

Это соотношение является уравнением равновесия статики, связывающим продольную силу N_х, и нормальное напряжение s, которое в общем случае является функцией координат у, z и не может быть найдено из одного уравнения статики. Поэтому задача определения напряжений даже в самом простом случае деформирования стержня растяжении (сжатии) оказывается статически неопределимой.

Необходимое для решения этой задачи дополнительное уравнение вытекает из гипотезы плоских сечений. Поскольку поперечные сечения стержня, оставаясь плоскими и перпендикулярными к оси стержня, в процессе деформирования перемещаются вдоль оси стержня лишь поступательно (одинаковое удлинение всех продольных волокон), то e = const и ввиду однозначности связи s и e (для линейно-упругого материала это - закон Гука: s = Е×e) получаем, что s = const.

Тогда N = s×A, откуда получим формулу для определения нормальных напряжений в поперечном сечении при растяжении

,

где - значение продольной силы в рассматриваемом поперечном сечении;

- площадь рассматриваемого поперечного сечения.

Высказанное предположение о равномерном распределении внутренних сил в поперечном сечении справедливо для участков, достаточно удаленных от мест резкого изменения пло­щади поперечного сечения (рис. 3.2), скачкообразного изменения внешних нагрузок и физико-механических характеристик конструкций.

F

F

Рис. 3.2

Основанием для такого утверждения служит принцип Сен - Венана, справедливый для любого типа напря­женного состояния и формулируемый следующим образом: осо­бенности приложения внешних нагрузок проявля­ются, как правило, на расстояниях, не превыша­ющих характерных размеров поперечного сечения стержня.

Условие прочности при растяжении (сжатии) призматического стержня для стержня из пластического материала (т. е. материала, одинаково работающего на растяжение и сжатие) будет иметь вид:

, (3.2)

где [s] – допускаемое напряжение.

Для пластичных материалов допускаемое напряжение равно:

для растяжения,

для сжатия, (3.3)

где п _т- коэффициент запаса прочности по пределу текучести.

Если s_тр = s_тс, то индексы «р» и «с» у напряжений опускаются.

Для хрупких материалов допускаемые напряжения для растяже­ния и для сжатия равны соответственно:

,

,

где n _в — коэффициент запаса прочности по пределу прочности.

Обычно n _т < n _в.

Величина коэффициента запаса зависит от точности выбранного метода расчета, вероятности наличия дефектов в материале, серьезно­сти последствий разрушения. На величине коэффициента запаса проч­ности сказывается накопленный опыт в той или иной области техники. Обычно n _т выбирается в пределах 1,7…3,5, а п_в в пределах 2…5.

Напряжение s в условии (3.2) подставляется по модулю, так как знак s в этом случае роли не играет. Для стержней из хрупких материалов, неодинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, знак напряжения имеет принципиальное значение, и условие прочности приходится формулировать отдельно для растяжения и сжатия

,

,

где s_р и s_с – напряжения растяжения и сжатия;

[s_р] и [s_с] – соответствующие им допускаемые напряжения.

В практике инженерных расчетов, исходя из условия прочности, решаются три основные задачи механики материалов конструкций. В применении к случаю растяжения (сжатия) призматического стержня эти задачи формулируются следующим образом.

1. Проверка прочности (проверочный расчет). Этот расчет проводится, если нагрузка (в нашем случае ее представляет N_х), сечение стержня А и его материал [s] заданы. Необходимо убедиться, что выполняется условие прочности

.

Проверочный расчет заключается в том, что определяется фактический коэффициент запаса прочности п и сравнивается с нормативным коэффициентом запаса [ n ]:

,

где s₀ – предельное (или опасное) напряжение, т. е. напряжение, вызывающее

отказ элемента конструкции (для стержня из пластичного материала

это предел текучести s_т или условный предел текучести s_0,2).

2. Подбор сечения (проектировочный расчет). В этом расчете по заданной нагрузке (N_х) определяются размеры поперечного сечения стержня (А) из заданного материала ([s] задано). Минимальное значение А получим, если в условии прочности (3.2) принять знак равенства:

.

3. Определение допускаемой нагрузки, то есть максимального значения нагрузки, которое допускает данный элемент конструкции (А и [s] заданы) при выполнении условия прочности

[ N ] = [s]× А.

3.3 Механические испытания материалов при растяжении (сжатии)

Для определения опасных напряжений s₀ необходимо провести испытания образцов материала на растяжение и сжатие.

Растяжение образцов осуществляется на специальных испытатель­ных машинах и сопровождается регистрацией усилий и соответствую­щих им деформаций. Большинство машин снабжено устройством, за­писывающим зависимость удлинения образца от приложенной к нему нагрузки. Вычерченная кривая в координатах F-Dl называется машинной диа­граммой растяжения образца.

Для получения количественных оценок свойств материала диа­грамма

F-Dl перестраивается в условную диаграмму s-e, делением усилия F на первоначальную (до растяжения) площадь поперечного сечения образ­ца A ₀и удлинения рабочей части образца Dl на его начальную длину l ₀.

В результате действия нагрузки длина стержня увеличится на величину , которая называется абсолютной продольной деформацией или удлинением стержня (рис. 3.3).

Относительной линейной деформацией называется отношение абсолютной продольной деформации к начальной длине стержня:

(3.4) где - длина стержня до приложения нагрузки;

- длина стержня после приложения нагрузки.

Рис. 3.3

Кроме продольной деформации стержень испытывает и поперечные деформации, которые определяются по формулам:

где - абсолютные поперечные деформации;

- соответственно ширина и высота сечения до приложения к стерж-

ню нагрузки;

- соответственно ширина и высота сечения после приложения наг-

рузки.

Как показывают эксперименты, при работе стержня в зоне упругости, между продольными и поперечными деформациями существует линейная зависимость:

или (3.5) где: коэффициент Пуассона (безразмерная величина), зависит от материала

стержня () и является физической константой материала (для

стали n = 0,25…0,33; для бронзы - n = 0,32 … 0,35; для алюминия

n = 0,35 … 0,36; для пробки - n = 0; для резины - n =0,5).

Коэффициент Пуассона всегда положителен, а знак "минус" в формулах (4) указывает, что при растяжении стержня его поперечное сечение уменьшается и, наоборот, при сжатии – увеличивается.

На рис. 3.4 представлена типичная диаграмма s =f (e) для мало­углеро-дистой стали. Точками отмечены наиболее характерные момен­ты деформации материала.

Наибольшее напряжение, до которого справедлив закон Гука,(точка а), называется пределом пропорциональности (s_пц).

Рис. 3.4

Наибольшее напряжение, до которого материал не получает остаточные деформации (точка b), называется пределом упругости (s_у).

Предел текучести (s _т)- напряжение, при котором происходит рост деформации без заметного увеличения нагрузки (точка с).

Для материалов, не имеющих на диаграмме выраженной площадки теку­чести (участок bс), вводят понятие условного предела текучести s_0,2 - напряжения, при котором остаточная деформация равна 0,002 или 0,2 %.Опыты по­казывают, что разгрузка образца осуществляется всегда по закону Гука, т. е. параллельно участку Оа. При полной разгрузке, когда s = 0, упругие деформации снимаются и остаются только пластические. Сле­довательно, если на оси деформаций диаграммы s-e отложить от нача­ла координат отрезок ОА, равный 0,002, и провести из точки А линию, параллельную прямой, выражающей закон Гука, то пересечение линии с диаграммой определит точку В, ордината которой будет соответство­вать условному пределу текучести s_0,2 (рис. 3.5).

Рис. 3.5

Временное сопротивление (s_в)— условное напряжение, которое соответствует наибольшему усилию в процессе растяжения образца (точка d на рис. 3.4).

.

До точки d деформация равномерно распределяется по длине образ­ца, площадь поперечного сечения образца уменьшается, но не зависит от координаты сечения. Дальнейшее растяжение сопровождается лока­лизацией пластических деформаций, что ведет к образованию шейки (рис. 3.6). Площадь поперечного сечения в зоне локализации пласти­ческой деформации резко уменьшается, что ведет к росту истинных напряжений, несмотря на снижение нагрузки (рис. 3.3, участок dк₁).

Рис. 3.6

Отношение растягивающего усилия в момент разрушения (F_к) к площади поперечного сечения в месте разрушения (А _к) характеризует истинное сопротивление разрушению (S_K):

.

Для цилиндрического образца А_K определяется путем замера диаметра в сечении, где произошло разрушение:

.

Рассмотренные выше напряжения количественно характеризуют прочностные свойства материала.

Для характеристики пластических свойств материала определяют относительное удлинение образца после разрыва (d) и относительное сужение после разрыва (y).

Первая характеристика определяется отношением:

%, (3.6)

где 1_Р - длина рабочей части образца после разрушения.

Вторая характеристика определяется отношением:

%. (3.7)

Чем выше значения d и y, тем пластичнее материал. Обычно мате­риал считается пластичным, если d > 5%. Как правило, yнесколько выше значений d.

Противоположным свойству пластичности является хрупкость, т. е. способность материала разрушаться без образования существенных остаточных деформаций. Для хрупких материалов dне превышает 2…5 %.

Типичная диаграмма растяжения хрупкого материала показана на рис. 3.7. Она не имеет площадки текучести и разрушение образца проис­ходит практически без остаточных деформаций. Единственной харак­теристикой прочностных свойств материала в этом случае является предел прочности s _в.

Испытания на сжатие пластичных материалов свидетельствуют о том, что пределы пропорциональности, упругости и текучести, как пра­вило, мало

отличаются от аналогичных характеристик, полученных при растяжении.

Рис. 3.7

Если необходимо отличить предел текучести при ра­стяжении от предела текучести при сжатии, используют дополнитель­ный индекс «р» для растяжения или «с» для сжатия. Таким образом, получаем обозначения s_тр и s_тс.

При испытаниях на сжатие пластичного материала невозможно осуществить разрушение образца. Цилиндрический образец получает бочкообразную форму, площадь поперечного сечения образца резко увеличивается (рис. 3.8). Это делает невозможным определение вре­менного сопротивления при сжатии.

F

F

Рис. 3.8

При сжатии хрупкого материала вид диаграмм s -e напоминает ана­логичную диаграмму при растяжении. Однако, как правило, предел прочности при сжатии значительно выше, чем при растяжении. Характеристики, полученные при растяжении и сжатии, снабжаются дополнительным индексом «р» - для растяжения или «с» - для сжатия, например, при растяжении - s _вр, при сжатии - s _вс. Согласно одной из гипотез механики деформируемого твердого тела, между напряжениями и деформациями существует линейная зависимость (закон Гука, 1676 г.):

, (3.8)

где: модуль упругости первого рода (модуль Юнга) - механическая харак-

теристика материала.

Если заменить в формуле (3.8) выражения s и e, то можно получить другую форму записи закона Гука:

,

. (3.9)

Величина ЕА называется жесткостью стержня при растяжении (сжатии).

3.4 Потенциальная энергия деформации

Внешние силы, приложенные к упругому телу и вызывающие изменение геометрии тела, совершают работу W на соответству­ющих перемещениях. Одновременно с этим в упругом теле накап­ливается потенциальная энергия его деформирования U. При дей­ствии динамических внешних нагрузок часть работы внешних сил превращается в кинетическую энергию движения частиц тела К. Приняв энергетическое состояние системы до момента действия данных сил равным нулю, и в условиях отсутствия рассеивания энергии, уравнение баланса энергии можно записать в следующем виде:

А = U + K. (3.10)

При действии статических нагрузок К = 0, следовательно,

А = U. (3.11)

Это означает, что при статическом нагружении работа внешних сил полностью преобразуется в потенциальную энергию деформа­ции. При разгрузке тела производится работа за счет потенциаль­ной энергии деформации, накопленной телом. Таким образом, уп­ругое тело является аккумулятором энергии. Это свойство упругого тела широко используется в технике, например, в заводных пружи­нах часовых механизмов, в амортизирующих рессорах и др. В слу­чае простого растяжения (сжатия) для вывода необходимых расчет­ных зависимостей потенциальной энергии деформации рассмотрим решение следующей задачи.

Выделим двумя поперечными сечениями х и x+dx элементарный участок стержня а-b длиной dx (см. рис. 3.9, а). После нагружения он переместится и займет положение a¢ - b' (рис. 3.9, б).

x

dx

l

D

F

x

a)

dx

a

b

a¢

b¢

б)

Рис. 3.9

До нагружения стержня элементарная длина отрезка аb была dl_ab = dx, а после нагружения стала dl_a'b'. Абсолютное удлинение отрез­ка стержня будет

Элементарная потенциальная энергия деформации растяжение-сжатие будет

(3.12)

Согласно закону Гука

. (3.13)

Тогда, с учетом (3.13) зависимость (3.12) примет вид

. (3.14)

Полная энергия равна

. (3.15)

В случае, когда внутреннее усилие N(x), механические Е(х) и гео­метрические A(x) характеристики стержня являются переменными по длине стержня, фор

Рис. 3.10 мула (3.15) перепишется в виде

, (3.16)

где п - число участков стержня.

Удельная потенциальная энергия, накопленная в единице объема стержня, будет

где V — объем стержня.

Единицей измерения потенциальной энергии деформации является

1H×м = 1Дж.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется стержнем?

2. Какой вид нагружения стержня называются осевым растяжением (сжатием)?

3. Как вычисляется значение продольной силы в произвольном поперечном сечении стержня?

4. Что такое эпюра продольных сил и как она строится?

5. Как распределены нормальные напряжения в поперечных сечениях центрально-растянутого или центрально-сжатого стержня и по какой формуле они определяются?

6. Как связаны гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли) и закон распределения нормальных напряжений в поперечном сечении растянутого (сжатого) стержня?

7. Что называется удлинением стержня (абсолютной продольной деформацией)? Что такое относительная продольная деформация? Каковы размерности абсолютной и относительной продольных деформаций?

8. Что называется модулем упругости Е? Как влияет величина Е на деформации стержня?

ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Лекция 4

Вопросы лекции:

1. Главные площадки и главные напряжения.

2. Виды напряженного состояния.

3. Обобщенный закон Гука.

4. Теории прочности.

4.1 Главные площадки и главные напряжения

Для того чтобы правильно оценить прочность бруса, не­обходимо уметь вычислять напряжение по любому сечению.

Через любую точку тела можно провести бесчислен­ное множество различно ориентированных площадок. При нагружении тела на этих площадках возникают в общем случае как нормальные, так и касательные напряжения.

Совокупность нормальных и касательных напряжений, возникающих на всем бесчисленном множестве площадок, которые можно провести через данную точку, характери­зует напряженное состояние в этой точке.

Напряженным состоянием тела в точке называют совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих по всем площадкам (сечениям), содержащим данную точку.

Исследование напряженного состояния дает возможность анализировать прочность материала для любого случая нагружения тела.

Пусть в окрестности исследуемой точки шестью попарно параллельными плоскостями выделен элементарный прямоугольный паралле-лепипед с размерами ребер dx, dy и dz (рис.4.1). По его граням будут действовать нормальные “s_i” и касательные “t_ij” напряжения. Обозначения нормальных напряжений содержат один индекс - наименование оси, которой параллельно данное напряжение. В обозначении касательных напряже-

Рис. 4.1 ний используются два индекса: первый совпадает с

инде

s >0

t >0

s<0

t<0

Рис. 4.2

Рис. 4.3

`n

` n

ксом нормального напряжения, действующее

го по данной площадке, а второй – наименование

оси, которой параллельно данное касательное нап-

ряжение. Используем принятое правило знаков для

напряжений. Нормальное напряжение σ считается

положительным, если совпадает по направлению с

внешней нормалью ` n к площадке, касательные

напряжения t считаются положительными, если

вектор касательных напряжений следует поворачивать против хода часовой

стрелки до совпадения с внешней нормалью (рис.4.2). Отрицательными считаются напряжения обратных направлений (рис. 4.3).

Система сил, приложенных к элементарному кубу, должна удовлетворять условиям равновесия.

Рассмотрим элементарный параллелепипед размеров dx, dy, dz (рис. 4.1). Запишем уравнение равновесия параллелепипеда в виде суммы моментов относительно оси у (рис. 4.4), получим:

Аналогично запишутся моменты сил относительно осей x и z. Из этих уравнений следует, что , , , т.е. на двух взаимноперпендикулярных площадках составляющие касательных напряжений, перпендикулярные к общему ребру, равны и направлены либо к ребру, либо от ребра. Этот вывод выражает закон парности касательных напряжений, который устанавливает зависимость между величинами и направлениями пар касательных напряжений, действующих по взаимно перпендикулярным площадкам элементарного параллелепипеда.

tzx

txz

txz

tzx

Согласно закону парности касательных напряжений знаки противоположны (рис. 4.4). Поэтому, если площадку с напряжением поворачивать до совпаде-ния с площадкой с напряжением , то обязательно найдется такое положение площадки, когда t = 0.

Площадки, по которым касательные напряжения равны нулю, называются главными, а действующие по этим площадкам нормаль-

Рис.4.4 ные напряжения - главными напряжениями.

Главные напряжения обозначаются s₁, s₂, s₃, причем s₁ ³ s₂ ³ s₃. Элемент, выделенный главными площадками, изображен на рис. 4.5.

s1

s1

s2

s2

s3

Рис. 4.5

4.2 Виды напряженного состояния

В зависимости от количества действующих главных напряжений различают три вида напряженных состояний: линейное, плоское и объемное.