Моменты инерции сечений

К геометрическим характеристикам плоских сечений относятся также моменты инерции. Различают осевые, полярные и центробежные моменты сечений.

Осевым моментом инерции сечения называется взятая по всему сечению сумма произведений элементарных площадок на квадраты их расстояний до некоторой оси, лежащей в плоскости рассматриваемого сечения. Так, относительно осей у и z (рис. 2.1) осевые моменты инерции определяются интегралами вида:

; , (2.6)

Величина осевого момента инерции служит характеристикой способности балки сопротивляться деформации изгиба.

Полярным моментом инерции сечения называется взятая по всему сечению сумма произведений элементарных площадок на квадраты их расстояний до некоторой точки О сечения (рис. 2.1).

, (2.7)

где r - расстояние от площадки dА до полюса.

Полярный момент инерции характеризует способность сечения сопротивляться деформации кручения.

Центробежным моментом инерции сечения относительно осей Оу и Оz называется взятая по всему сечению сумма произведений элементарных площадок на расстояния их до этих осей. Центробежный момент инерции сечения определяются интегралом

. (2.8)

Если полярный момент инерции вычисляется относительно начала системы координат (рис. 4.1), то и

₊ ,

следовательно

, (2.9)

т.е. сумма осевых моментов инерции сечения относительно любых двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через данную точку равна полярному моменту инерции этого сечения относительно этой точки.

Рис.2.2

y1

y2

z1

z2

y

z

dA1

dA2

Размерность моментов инерции м⁴. Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным, равным нулю.

Центробежный момент инерции сечения относительно осей, хотя бы одна из которых является осью симметрии, равен нулю. Действительно, для симметричной фигуры всегда можно выделить два элемента ее площади (рис. 2.2), которые имеют одинаковые ординаты у₁=у₂=у и равные по величине, но противоположные по знаку абсциссы z₁=z и z₂=-z. Тогда

.

2.2.1 Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей

Пусть z _с, у_с - центральные оси сечений, - моменты инерции сечения относительно этих осей. Определим моменты инерции сечения относительно новых осей z₁, у₁, параллельных центральным осям и смещенных относительно них на расстояния a и d. Пусть dA - элементарная площадка в окрестности точки М с координатами y и z в центральной системе координат. Из рисунка 2.3 видно, что координаты точки С в новой системе координат будут равны , .

Определим момент инерции сечения относительно оси у ₁:

_.

Рис. 2.3

zc

yc

z1

y1

d

a

C

Очевидно, что первый интеграл дает , второй - , т.к. исходная система координат - центральная, а третий - площадь сечения А.

Таким образом,

. (2.10)

Аналогично,

, (2.11)

. (2.12)