![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Дадим полную классификацию квадрик в пространстве Е3 , для этого рассмотрим все частные случаи упрощения уравнения (6). .
Случай 1: m=n=3, p ≠ 0.
Уравнение (6) принимает вид:
или
.
В зависимости от знаков чисел p1, p2, p3 и p уравнение принимает различные виды.
а) – эллипсоид.
Так как не всякие два эллипсоидаравны и даже подобны, в евклидовой геометрии (см. опр. (3) §14) имеется возможность классификации эллипсоидов и других квадрик (при n=3 поверхностей 2-го порядка). Если a≠ b≠ c, то эллипсоид называется трёхосным. Если равны какие - либо две из чисел a, b, c, то имеем эллипсоид вращения. Если же a=b=c, то эллипсоид является сферой. Эта классификация инвариантна относительно движений пространства En.
б) – мнимый эллипсоид.
в) – однополостный гиперболоид (при a=b - о.г. вращения).
г) - двуполостный гиперболоид (при a=с – д.г. вращения).
Случай 2:m=n=3, p=0.
Уравнение (6) принимает вид:
Возможны частные случаи:
а) – конус (при a=b – конус вращения).
б) – мнимый конус с вершиной в начале координат.
Случай 3: n=3, m=2, d3≠0.
Уравнение (6) принимает вид:
.
.
Освободимся от свободного члена p с помощью параллельного переноса системы координат по формулам:
Получим уравнение: и его частные случаи:
а) – эллиптический параболоид (при a=b – э.п. вращения).
б) – гиперболический параболоид (или седловая поверхность).
Случай 4 (цилиндры 2-го порядка):
I.
.
а) - эллиптический цилиндр (при
- цилиндр вращения или
прямой круговой цилиндр).
б) - мнимый эллиптический цилиндр
.
в) - гиперболический цилиндр.
II.
а) - пара пересекающихся по оси
плоскостей.
б) - пара мнимых плоскостей, пересекающихся по оси
.
III.
а) - пара различных параллельных плоскостей.
б) - пара мнимых параллельных плоскостей.
в) - пара совпавших с плоскостью
плоскостей.
IV. где
то есть d2 и d3 не равны нулю одновременно,
Разделим обе части этого уравнения на p1 ≠0 и освободимся, как и в случае (3 ), от свободного члена p:
Обозначим и выполним ортогональное преобразование переменных (проверить!) по формулам:
Оно означает переход к новой прямоугольной декартовой системе координат, относительно которой квадрика будет иметь уравнение:
– параболический цилиндр.
Замечание 2:подсчёт получившихся канонических или простейших уравнений показывает, что в пространстве E3 существует семнадцать различных видов поверхностей 2-го порядка.
Дата публикования: 2014-11-26; Прочитано: 575 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!