Ordm;. Упрощение уравнения квадрики

Определение квадрики, данное в §20 для аффинного пространства , сохраняется и для евклидова пространства . Но теперь уже используется только прямоугольные декартовы системы координат.

Пусть квадрика задана относительно ортонормированной системы координат общим уравнением вида: (1), где

Вначале производится линейное ортогональное преобразование переменных приводящее к каноническому виду квадратичную форму из левой части уравнения (1) (см.§23). Пусть оно имеет вид: (2), где .

С геометрической точки зрения это означает переход к новой прямоугольной декартовой системе координат, получаемой из исходной с помощью вращения вокруг начала координат. Уравнение (1) квадрики примет вид:

(3)

где и коэффициенты не равны нулю.

Выделим полные квадраты:

(4)

Подвергнем систему координат параллельному переносу

(5) - это ортогональное преобразование ().

Вводя обозначение , получаем уравнение квадрики в новой ортонормированной системе координат:

, (6)

где и коэффициенты отличны от нуля.

При дальнейшем упрощении этого уравнения в общем случае уже не удается добиться того, чтобы все коэффициенты при квадратах координат были равны , так как при помощи отрицательного преобразования квадратичная форма не всегда приводится к нормальному виду. Поэтому в пространстве E_n уравнение квадрики в общем случае уже не удается привести к такому простому виду, как в пространстве A_n (нормальному виду).

Замечание 1: так как равные фигуры является также аффинно-эквивалентными, то проведённая в §21 аффинная классификация квадрик имеет место и в пространстве E_n. Однако не всякие аффинно-эквивалентные фигуры равны, поэтому каждый класс аффинной классификации разбивается на бесконечное множество классов так, что любые две квадрики из одного класса равны, а любые две квадрики из разных классов не равны. То есть в пространстве E_n появляются новые виды квадрик, отсутствующие в пространстве А_n.