Расстояние от точки до плоскости. Теорема 1. Расстояние δ от точки М0(x0;y0;z0) до плоскости α с уравнением

Теорема 1. Расстояние δ от точки М₀(x₀;y₀;z₀) до плоскости α с уравнением

ax+by+cz+d=0 (1)

выражается формулой:

δ = . (2)

Доказательство.

Пусть М₁(x₁;y₁;z₁) – основание перпендикуляра, проведенного из точки М₀ к плоскости α. Тогда вектор n = (a;b;c), перпендикулярный плоскости α, коллинеарен вектору М₁М₀: n ↑↑ М₁М₀ или n ↑↓ М₁М_0.

По теореме о скалярном произведении векторов имеем:

М₁М₀*n= │М₁М₀│ │n│ cos <(М₁М₀, ) = │ М₁М₀ │ │n │ (±1).

Учитывая, что: М₁М₀ (x₀ – x₁; y₀ – y₁; z₀ – z₁);

│n │= , δ = │ М₁М₀ │= р (М₀, α), получаем:

(x₀ – x₁) a + (y₀ – y₁) b + (z₀ – z₁) c = ± ρ (М₀, α) (3)

Так как М₁ α, то .

.

Из равенства (3) окончательно получим:

р (М₀, α) = δ = . Теорема доказана.

Теорема 2.Координаты точек одного из открытых полупростых неравенств, на которые плоскость у равнением (1) делит пространство, удовлетворяющее неравенству ax + by + cz + d > 0, а координаты точек другого открытого полупространства удовлетворяют неравенству противоположного смысла:

.

Следствие. Если точки и лежат по одну сторону от плоскости с уравнением (1), то многочлен при подстановке в него координат этих точек принимает значения одного знака, а если по разные стороны – значения разных знаков.

Доказательства аналогичны доказательствам соответствующих утверждений для прямой в планиметрии.

Пример 1. Исследовать взаимное расположение точки и плоскости : .

Решение.

;

;

.

Точка находится на расстоянии от плоскости по другую сторону от неё по отношению к началу координат.

Пример 2. Тетраэдр ОАВС, ограниченный координатными плоскостями и плоскостью : задается системой неравенств (нестрогих):

а его внутренняя область – соответствующей системой строгих неравенств.

, , .