Случай 1. (3) – условие параллельности двух плоскостей

. (3)

(3) – условие параллельности двух плоскостей.

При этом имеются две возможности:

а) ( плоскости совпадают )

Тогда уравнения (1) и (2) эквивалентные (равносильны), любое из них получается из другого умножением на некоторое число, следовательно:

. (4)

б) (нет общих точек)

Тогда уравнения (1) и (2) не имеют общих решений, следовательно:

. (5)

Случай 2. Плоскости и пересекаются.

Векторы и неколлинеарны, условия (3) не выполняются.

В частности, плоскости и могут оказаться перпендикулярными, тогда , следовательно, и

. (6)

(6) – условие перпендикулярности двух плоскостей.

Замечание 1. Если в формулах (3), (4), (5) какой-либо из знаменателей равен нулю, то запись понимают условно, считая равным нулю и соответствующий числитель.

Определение. Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из определяемых им двугранных углов (точнее, его линейный угол).

Угол между двумя параллельными или совпадающими плоскостями считается равным нулю.

Теорема. Угол между плоскостями с уравнениями (1) и (2) вычисляется по формуле

. (7)

Доказательство.

Обозначим: , , где , .

Случай 1. , тогда: и (как углов с соответственно перпендикулярными сторонами).

Случай 2. , тогда: и .

В обоих случаях имеем:

.

Теорема доказана.

Замечание 2. Из формулы (7) при получается условие перпендикулярности плоскостей (6).