Биномиальное распределение

Биномиальное распределение вероятностей является самым распространённым распределением для дискретных случайных величин.

Итак, пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться, либо не появиться. И пусть, вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна р (следовательно, вероятность непоявления ). Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины Х – число появлений события А в этих испытаниях.

Поставим перед собой задачу: найти закон распределения величины Х. Для её решения требуется определить возможные значения случайной величины Х и их вероятности.

Очевидно, событие А в n испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза,..., либо n раз. Таким образом, нетрудно записать возможные значения случайной величины . Остаётся найти вероятности этих возможных значений, для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли (см. Лекцию 5):

, где k = 0,1,2,…, n.

Формула Бернулли и является аналитическим выражением искомого закона распределения.

Биномиальным называют распределение вероятностей дискретной случайной величины, определяемое формулой Бернулли.

Запишем биномиальный закон в виде таблицы:

Х				...	k	...	n – 1	n
р				...		...

Свойства биномиального распределения:

1. .

Действительно:

2. (заметим, что при ) (доказать самостоятельно)

3. .

4. .

ПРИМЕР 4. Имеется три станка, коэффициент использования по времени которых составляет 0,8. Определить вероятность того, что в середине рабочей смены при нормальных условиях производства из данных трёх станков будет работать не более двух.

Решение. Работа каждого станка – события независимые. Вероятность того, что станок будет работать равна р =0,8 (следовательно q =1-0,8=0,2). Пусть случайная величина Х - число одновременно работающих станков, то есть . Очевидно, что вероятности значений случайной величины Х подчиняются биномиальному закону распределения с параметрами р =0,8; q =0,2; n =3. Значит

, k = 0,1,2,3.

Требуется определить вероятность . По определению

.

Так как:

Тогда

.