Теорема Чебышева

Для доказательства теоремы Чебышева (да и других теорем, в том числе) воспользуемся одноимённым неравенством. Неравенство Чебышева (как впрочем и теорема) справедливо как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Мы ограничимся, например, доказательством неравенства для непрерывной случайной величины.

НЕРАВЕНСТВО Чебышева [12]: Вероятность того, что отклонение случайной величины Х, имеющей конечную дисперсию , от её математического ожидания по абсолютной величине на меньше любого положительного числа , ограничена сверху величиной , то есть, справедливо неравенство:

.

Доказательство: По определению дисперсии для непрерывной случайной величины можем записать

.

Выделим на числовой оси Ох -окрестность точки (см. рис.). Заменим теперь интегрирование по всей оси интегралом по переменной х на множестве . Так как под знаком интеграла стоит неотрицательная функция[13], то результат интегрирования в результате может только уменьшиться, то есть

.

Интеграл в правой части полученного неравенства – это вероятность того, что случайная величина Х будет принимать значения вне интервала . Значит

.

Неравенство доказано.

Замечание. Неравенство Чебышева имеет для практики ограниченное значение, поскольку часто даёт грубую, а иногда и тривиальную (не представляющую интереса) оценку. Например, если и, следовательно, ; таким образом, в этом случае неравенство Чебышева указывает лишь на то, что вероятность отклонения находится в пределах от нуля до единицы, а это и без того очевидно, так как любая вероятность удовлетворяет этому условию.

Теоретическое же значение неравенства Чебышева весьма велико. Оценка, полученная Чебышевым, является универсальной, она справедлива для любых случайных величин, имеющих и .

ПРИМЕР. Найти вероятность выхода случайной величины Х, имеющей математическое ожидание и дисперсию , за трёхсигмовые границы.

Решение. Воспользуемся неравенством Чебышева:

.

Сравним полученный результат с тем, который следует из правила трёх сигм для нормального закона распределения:

.

Нетрудно сделать ВЫВОД: случайные величины, встречающиеся на практике, чаще всего имеют значительно меньшую вероятность выхода за трёхсигмовые границы, чем 1/9. Для них область является областью практически возможных значений случайной величины.

ТЕОРЕМА Чебышева (частный случай): Пусть Х ₁ , Х ₂ , …, Х_n – попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание М (Х), и пусть дисперсии этих величин равномерно ограничены (то есть не превышают некоторого постоянного числа С). Тогда, при достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюдаемых значений случайных величин сходится по вероятности к их математическому ожиданию, то есть имеет место равенство:

.

Доказательство. Применим к случайной величине неравенство Чебышева:

.

Заметим (по условиям теоремы), что для дисперсии справедливы соотношения:

, то есть .

Тогда, согласно неравенству Чебышева

.

Переходя к пределу при получаем

.

А так как вероятность не может быть больше единицы, то отсюда и следует утверждение теоремы.

Теорема Чебышева была обобщена на более общий случай, доказательство которой проводится аналогично доказательству, предложенному выше.

ТЕОРЕМА Чебышева (общий случай): Пусть Х ₁ , Х ₂ , …, Х_n – попарно независимые случайные величины, и пусть дисперсии этих величин равномерно ограничены (то есть не превышают некоторого постоянного числа С). Тогда, при достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюдаемых значений случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий, то есть имеет место равенство:

.