Интегрирование некоторых иррациональностей

А. Дробно-линейные иррациональности .

Записав (N -общий знаменатель дробей ), получим:

= .

Получен интеграл от рациональной функции.

Примеры: 1°. .

2°. =

= = .

Возвращаясь к исходной переменной, получим:

= .

Б. Интегрирование дифференциального бинома (биномиального дифференциала):

.

Теорема Чебышева: Если ,то интеграл от дифференциального бинома выражается через элементарные функции тогда и только тогда когда:

1°. – целое; 2°. – целое; 3°. – целое.

и при этом следующие подстановки (Чебышева) сводят интегралы к интегралам от рациональных функций.

,где s – общий знаменатель дробей m и n,

, s – знаменатель дроби p,

, s – знаменатель дроби p.

Примеры:

1°. = =

= =

= .

С помощью второй подстановки Чебышева интеграл от дифференциального бинома стал интегралом от рациональной функции.

2°. = . Ни одна из подстановок Чебышева не подходит – интеграл не может быть выражен через элементарные функции (не берётся).

3°. =…

В данном случае и, следовательно, третья подстановка Чебышева должна рационализовать подынтегральное выражение.

В самом деле , и получается интеграл

… = = , и интеграл рационализован.

4°. =…

Здесь

и выполняя замену , получим

… = .

Приведенный пример показывает что для не рациональных показателей степеней подстановки Чебышева тоже могут быть полезны.

В. Подстановки Эйлера: ;

Для интегрирования квадратичных иррациональностей

I.

II. ;

III. .

Других случаев просто нет, ибо тогда . Знаки плюс–минус выбираются из соображений удобства. Остроумие подстановок Эйлера заключается в том, что для нахождения х получается линейное уравнение.

1°. … Учитывая что , выполним первую подстановку Эйлера.

… = = = .

Полученные интегралы от рациональных функций трудностей не представляют.

2°. = … Учитывая что , выполним вторую подстановку Эйлера.

. Тогда … = .

Вновь получен интеграл от рациональной функции.

3°. = … Квадратный трехчлен под знаком корня имеет вещественные корни поэтому можно применить третью подстановку Эйлера.

и получаем

= , а это интеграл от рациональной функции.

Г°. Интегрирование иррациональностей вида: .

Введем обозначение .

Г1°. .

Для нахождения коэффициентов и продифференцируем обе части равенства:

в левой части перейдем к к общему знаменателю: . Многочлены стоящие в числителях дробей справа и слева от знака равенства должны быть равны и, следовательно, должны быть равны коэффициенты при соответствующих степенях переменной. Отсюда получаем систему линейных уравнений для нахождения коэффициентов и .

Пример: 1°. = …

Г2°. …

Замена ; ; ;

= = =

= = .

После замены переменной, получим

… = – а такой интеграл рассмотрен в предыдущем пункте.

Пример: = ….

Г3°. = …

Подстановка Абеля: ; ; = (*).

Находя дифференциал от правой и левой части равенства (*), получим:

; ; ;

а возводя правую и левую части равенства (*) в квадрат, будем иметь:

; .

Т.е. после выполнения подстановки Абеля, исходный интеграл станет интегралом от рациональной функции:

… = .

Г4°. .

В первом интеграле делаем замену: , а во втором и задача интегрирования интеграла типа Г4° сведена к интегрированию рациональных функций.

Г5°. = ….

Возможны варианты:

а) и ; тогда получим интеграл, рассмотренный в пункте Г3°, и применим подстановку Абеля.

б) и тогда ; и после замены у квадратных трехчленов не останется первых степеней (интегралы типа Г4°).

в) В случае сделаем дробно-линейную подстановку , (). Тогда = и потребуем, чтобы коэффициент при первой степени t равнялся нулю:

.

Аналогично, для :

.

Из двух полученных уравнений находим и

= ; и,

следовательно: ; .

Таким образом и есть корни квадратного уравнения: . После замены в квадратных трехчленах не остается первых степеней (интегралы типа Г4°).