Интегрирование дробно-рациональных функций

Рассматривается задача интегрирования рациональной дроби: .

а) Если m > n: т.е. дробь под знаком интеграла неправильная. Производя деление, получим

Þ ,

причем:

*. Интеграл легко берется (интеграл от полинома);

*. Интеграл - является интегралом от правильной дроби.

б) Разложим многочлен на неприводимые множители, т.е. на линейные множители и квадратные трехчлены с вещественными коэффициентами без вещественных корней. Это всегда можно сделать, если у исходного многочлена вещественные коэффициенты:

(*)

в) Метод разложения дроби на простейшие.

Теорема: Правильная дробь , у которой знаменатель представлен в виде (*) всегда может быть представлена в виде суммы элементарных дробей вида I, II, III, IV.

Т.е.

.

Учитывая, что в правой части стоят только дроби I, II, III и IV типов, а интегрировать эти дроби мы научились, то задача интегрирования рациональной дроби решена.

Неопределенный интеграл от рациональной функции существует на любом промежутке, где знаменатель интегрируемой дроби не обращается в ноль и выражается через рациональные функции, логарифмы и арктангенсы в конечном виде.